Assertion - Définition

Dans la langue française, le mot assertion (n,f) représente une vérité absolue : il définit une proposition reconnue comme vraie.
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En mathématiques, une assertion est une phrase mathématique, à laquelle il est possible, dans le cadre d'une théorie, d'attribuer une valeur de vérité vraie ou fausse, mais pas les deux (principe du tiers exclu). Autrement dit, nous devons pouvoir dire sans aucune ambiguïté si cette formulation est vraie ou fausse par rapport à un système d'axiomes donné et en concordance avec une logique mathématique.

Exemples

• 2 + 2 = 4 est une assertion vraie dans la théorie des entiers naturels.
• e = 2,71 (où e désigne la base du logarithme népérien) est une assertion fausse dans la théorie des nombres réels.
• " il pleuvra demain " n'est pas une assertion.
• L'assertion 1 + 1 = 0 est fausse dans la théorie des entiers mais est vraie dans la théorie des nombres modulo 2.

Nous entendons souvent dire que 2 + 2 = 5 est une affirmation fausse ; en fait cela sous-entend que 2 et 5 sont des entiers naturels et en utilisant les axiomes de la définition des entiers naturels, nous aboutissons à une contradiction évidente 1 = 0, par exemple. Mais nous pouvons faire devenir cette égalité vraie en considérant 2 et 5 comme égaux à 0 et en définissant l'addition par 0 + 0 = 0. Nous construisons dans ce cas une autre théorie ; tout le problème est de savoir si ensuite cette théorie sera d'une quelconque utilité. Et pourra-t-on trouver beaucoup d'adeptes de cette théorie ? Après tout des savants italiens du XVI^e siècle comme Cardan s'enhardissaient à travailler avec des racines carrées de nombres négatifs et notaient abusivement un certain nombre complexe imaginaire  ; cela donna plus tard naissance à la théorie des nombres complexes.