Suite géométrique - Définition

En mathématique, on appelle suite géométrique une suite u définie sur à valeurs dans un corps E, et telle qu'il existe un élément q de appelé raison pour lequel :

On dit alors que les termes sont en " progression géométrique ".

Ces suites sont d'un réel intérêt pratique, dans de nombreux domaines. En pratique on s'occupe généralement de suites dans ou .

Exemple Si la raison et  :

Champ d'applications

La suite géométrique est l'outil privilégié pour l'étude de phénomène à croissance ou décroissance exponentielle et l'étude de populations dont la taille double ou diminue de moitié dans un intervalle de temps constant (période).

Exemple : Le carbone 14 ¹⁴C est un atome radioactif dont la période ou demi-vie est de T = 5730 ans (à 40 an près). Cela signifie que, en cas de fermeture d'un système (fin des échanges avec le monde extérieur), la quantité de carbone 14 diminue de moitié tous les 5730 ans.

Si N est la quantité de ¹⁴C dans le système, au bout de T années (T = 5730 ans), il n'existe plus que N/2 atomes de ¹⁴C . Au bout de 2T, il n'y a plus que N/4 atomes. Au bout de 3T, il ne reste plus que N/8 atomes. Si on appelle N_n la quantité d'atomes ¹⁴C au bout de n périodes, la suite (N_n ) est une suite géométrique de raison 1/2.

On la retrouve aussi dans le système bancaire avec le calcul des intérêts composés.

Exemple :Un capital C₀ placé à 5% rapporte au bout d'un an d'intérêts. Ces intérêts ajoutés au capital nous donnent un nouveau capital . En recommençant le processus chaque année, on crée une suite géométrique de raison 1,05 car

On la retrouve enfin, en musicologie, dans la suite des quintes (gamme pythagoricienne)

Elle est l'équivalent discret de la fonction exponentielle.

Terme général

Si E est un corps et si est une suite géométrique de E de raison alors, pour tout  :

Plus généralement, si la suite est définie sur et si n et p appartiennent à A et si q est non nul, alors :

Une suite géométrique est donc entièrement déterminée par la donnée de son premier terme et par sa raison q.

Réciproquement, une suite définie sur par

est une suite géométrique de raison q.

Sens de variation et convergence

On supposera et q non nul.

Sens de variation

Ce paragraphe concerne les suites géométriques à valeurs dans .

• si la suite n'est pas monotone et oscille alternativement dans les nombres négatifs et positifs.
• si
  • si 0" > la suite est décroissante positive
  • si la suite est croissante négative
• si
  • si 0" > la suite est croissante positive
  • si la suite est décroissante négative
• si la suite est constante.

Convergence

Dans

• si , la suite diverge et ne possède pas de limite. Dans les valeurs d'adhérence sont et .
• si , la suite diverge et possède deux valeurs d'adhérence et -
• si , la suite converge vers 0
• si , la suite est constante et converge vers
• si 1\," >, la suite est divergente mais possède une limite égale à
  • pour 0" >
  • pour

Dans

• si , la suite converge vers 0.
• si 1" >, la suite est divergente.
• si q = 1, la suite est constante et converge vers .
• si et , la suite diverge.

Croissance comparée

Dans

On démontre que, pour tout entier n et tout réel t positif , ce qui permet de dire qu'une suite géométrique de raison 1 + t et de premier terme a croît plus vite qu'une suite arithmétique de raison at. Cependant, en pratique, pour des valeurs de t petite et des valeurs de n raisonnables les deux suites sont quasiment confondues.

Illustration a = 1000 et t = 0,004, at = 4

Cette approximation permet aux banques de présenter (dans le cadre de taux d'intérêt faibles) pour le taux mensuel, le taux annuel divisé par 12 au lieu de prendre

Somme des termes

Si ou et si est une suite géométrique de raison q de E alors, pour tout  :

pour q différent de 1

pour q = 1

• Voir série géométrique, somme des premiers termes