Loi de Bernoulli - Définition

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Bernoulli
Densité de probabilité / Fonction de masse
Fonction de répartition
Paramètres p>0\, (nombre réel)
q\equiv 1-p\,
Support k=\{0,1\}\,
Densité de probabilité (fonction de masse) \begin{matrix}     q & \mbox{pour }k=0 \\p~~ & \mbox{pour }k=1     \end{matrix}
Fonction de répartition \begin{matrix}     0 & \mbox{pour }k<0 \\q & \mbox{pour }0<k<1\\1 & \mbox{pour }k>1     \end{matrix}
Espérance p\,
Médiane (centre) non disponible
Mode \textrm{max}(p,q)\,
Variance pq\,
Asymétrie (skewness) \frac{q-p}{\sqrt{pq}}
Kurtosis (non-normalisé) \frac{3p^2-3p+1}{pq}\,
Entropie -q\ln(q)-p\ln(p)\,
Fonction génératrice des moments q+pe^t\,
Fonction caractéristique q+pe^{it}\,

En mathématiques, la distribution de Bernoulli ou loi de Bernoulli, du nom du mathématicien suisse Jacques Bernoulli, est une distribution discrète de probabilité, qui prend la valeur 1 avec la probabilité p et 0 avec la probabilité q = 1 − p.

f(x) = \left\{\begin{matrix} p & \mbox {si }x=1, \\ q & \mbox {si }x=0, \\ 0 & \mbox {sinon.}\end{matrix}\right.

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire de Bernoulli vaut p et la variance vaut pq = p(1 − p).

Le Kurtosis tend vers l'infini pour des valeurs hautes et basses de p, mais pour p = 1 / 2 la distribution de Bernoulli a un kurtosis plus bas que toute autre distribution, c’est-à-dire 1.

La distribution de Bernoulli s'applique lors d'une épreuve de Bernoulli dont le succès est 1 et l'échec 0.

Distributions liées

  • Si X_1,\dots,X_n sont des variables aléatoires de Bernoulli avec paramètre p, indépendantes identiquement distribuées,alors Y = \sum_{k=1}^n X_k \sim \mathrm{Binomial}(n,p)
    (Loi binomiale).
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