Série de Fourier
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Décomposition en spectres - Le premier graphe donne l'allure du graphe d'une fonction périodique ; l'histogramme donne les valeurs des modules des coefficients de Fourier correspondant aux différentes fréquences.
Décomposition en spectres - Le premier graphe donne l'allure du graphe d'une fonction périodique ; l'histogramme donne les valeurs des modules des coefficients de Fourier correspondant aux différentes fréquences.

En analyse, les séries de Fourier sont un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification des actions...) fondamental dans l'étude des fonctions périodiques. C'est à partir de ce concept que s'est développé la branche des mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...) connue sous le nom d'analyse harmonique (Dans plusieurs domaines, une harmonique est un élément constitutif d'un phénomène périodique ou vibratoire (par exemple en électricité : les...).

L'étude d'une fonction périodique par les séries de Fourier comprend deux volets. L'analyse consiste en la détermination de la suite de ses coefficients de Fourier. La synthèse permet de retrouver, en un certain sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...), la fonction à l'aide de la suite de ses coefficients.

Au-delà du problème de la décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de vie,...), la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance...) des séries de Fourier établit une correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le terme désigne des échanges de courrier personnels plutôt qu'administratifs.) entre la fonction périodique et les coefficients de Fourier. De ce fait, l'analyse de Fourier peut être considérée comme une nouvelle façon de décrire les fonctions périodiques. Des opérations telles que la dérivation s'écrivent simplement en termes de coefficients de Fourier. La construction d'une fonction périodique solution d'une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre...) fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en argument. Aujourd'hui, le terme a...) peut se ramener à la construction des coefficients de Fourier correspondants.

Les séries de Fourier ont été introduites par Joseph Fourier en 1822, mais il fallut un siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33 ans 4 mois...) pour que les analystes dégagent les outils d'étude adaptés : une théorie de l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la...) pleinement satisfaisante et les premiers concepts de l'analyse fonctionnelle. Elles font encore actuellement l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être...) de recherches actives pour elles-mêmes, et ont suscité plusieurs branches nouvelles : analyse harmonique, théorie du signal ( Termes généraux Un signal est un message simplifié et généralement codé. Il existe sous forme d'objets ayant des formes particulières. Les signaux...), ondelettes...

Les séries de Fourier se rencontrent usuellement dans la décomposition de signaux périodiques, dans l'étude des courants électriques, des ondes cérébrales, dans la synthèse sonore, le traitement d'image...

Approche intuitive

Une fonction F d'une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un...) réelle est dite périodique de période T lorsqu'elle vérifie : pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) réel x, f(x + T) = f(x). La fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit par unité de temps. Ainsi lorsqu'on...) F est l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un...) de la période : F=1/T.

Les fonctions périodiques de période T les plus faciles à étudier sont les fonctions sinusoïdales dont la fréquence est un multiple de F

x\mapsto \cos(2\pi\cdot n\cdot F\cdot  x) et x\mapsto \sin(2\pi \cdot n\cdot F\cdot x)

Polynômes trigonométriques

Une combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire de ces fonctions sinusoïdales élémentaires porte le nom de polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une...) trigonométrique et constitue aussi une fonction périodique de période T. Elle peut se réécrire comme combinaison linéaire de fonctions x\mapsto e^{2in\pi F x}, l'emploi des nombres complexes et de la fonction exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs définitions équivalentes : un morphisme...) permettant de simplifier les notations.

Un polynôme trigonométrique P s'écrit donc sous la forme

P(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n (P)\exp\left(i \frac{2n\pi}{T} x\right).

Le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un...) d'ordre n peut être obtenu par le calcul suivant :

\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} P(t) e^{-i \frac{2n\pi}{T}t}\,dt=c_n(P) \qquad (1).


Dans cette formule, les coefficients cn(P) sont nuls à partir d'un certain rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le rang et la dimension du noyau d'une application...) et la somme redonnant P est en fait finie.

Principe des séries de Fourier

Pour des raisons de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...), on ne peut pas obtenir toutes les fonctions périodiques de période T comme une telle combinaison.

L'idée sous-jacente à l'introduction des séries de Fourier est de pouvoir obtenir une fonction T-périodique, par exemple continue, comme somme de fonctions sinusoïdales :

f(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n \exp\left(i \frac{2n\pi}{T} x\right)

avec les coefficients cn(f), appelés coefficients de Fourier de f, définis par la formule :

c_n(f) = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{-i \frac{2n\pi}{T}t}\,dt.

Il s'agit cette fois-ci d'une véritable somme infinie, c'est-à-dire d'une limite de somme finie, ce qui correspond au concept de somme de série.

De nombreux calculs se traduisent de façon très simple sur les coefficients des polynômes trigonométriques, comme le calcul de dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une...). Il est possible de les généraliser au niveau des coefficients de Fourier généraux.

Au sens strict, la formule de décomposition n'est pas correcte en général. Elle l'est, ponctuellement, sous de bonnes hypothèses de régularité portant sur f. Alternativement, on peut lui donner sens en se plaçant dans les bons espaces fonctionnels.

Aspects historiques

Les séries de Fourier constituent la branche la plus ancienne de l'analyse harmonique, mais n'en demeurent pas moins un domaine vivant, aux nombreuses questions ouvertes. L'étude de leurs particularités est allée de pair, pendant tout le XIXe siècle, avec les progrès de la théorie de l'intégration.

Les origines

Les premières considérations sur les séries trigonométriques apparaissent vers 1400 en Inde, chez Madhava, chef de file de l'école du Kerala[1]. En Occident (L'Occident, ou monde occidental, est une zone géographique qui désignait initialement l'Europe. L'extension de l'espace considéré a varié au cours...), on les trouve au XVIIe siècle chez James Gregory, au début du XVIIIe chez Brook Taylor. C'est l'ouvrage de ce dernier, Methodus Incrementorum Directa et Inversa, paru en 1715, qui donne le coup d'envoi à l'étude systématique (En sciences de la vie et en histoire naturelle, la systématique est la science qui a pour objet de dénombrer et de classer les taxons dans un certain ordre, basé...) des cordes vibrantes et de la propagation du son, thème de recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension...) majeur pendant tout le siècle.

Une controverse éclate dans les années 1750 entre d'Alembert, Euler et Daniel Bernoulli sur le problème des cordes vibrantes. D'Alembert détermine l'équation d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible de propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans transporter de matière.) et ses solutions analytiques. Bernoulli les obtient également, sous forme de décomposition en série trigonométrique. La controverse porte sur la nécessité de concilier ces points de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) avec les questions de régularité des solutions. Selon J.-P. Kahane[2], elle aura un rôle majeur dans la genèse des séries de Fourier.

Bernoulli avait introduit des séries trigonométriques dans le problème des cordes vibrantes pour superposer des solutions élémentaires.

Joseph Fourier (1768-1830) introduit l'équation de la chaleur (Dans le langage courant, les mots chaleur et température ont souvent un sens équivalent : Quelle chaleur !) dans un premier mémoire (D'une manière générale, la mémoire est le stockage de l'information. C'est aussi le souvenir d'une information.) en 1807[3] qu'il complète et présente en 1811 pour le Grand prix de Mathématiques. Ces premiers travaux, controversés sur le plan de l'analyse, ne furent pas publiés. En 1822, Fourier expose les séries et la transformation de Fourier dans son traité Théorie analytique de la chaleur. Il énonce qu'une fonction peut être décomposée sous forme de série trigonométrique, et qu'il est facile de prouver la convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) de celle-ci. Il juge (Le juge peut être un professionnel du droit, désigné ou élu pour exercer son office. Il peut également être un simple citoyen appelé temporairement à rendre la justice : c'est notamment le...) même toute hypothèse de continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à des...) inutile[4].

En 1829, Dirichlet (1805-1859) donne un premier énoncé correct[5] de convergence limité aux fonctions périodiques continues par morceaux ne possédant qu'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de fini d'extrema. Dirichlet considérait que les autres cas s'y ramenaient ; l'erreur sera corrigée par Jordan en 1881.

En 1848, Wilbraham est le premier à mettre en évidence le phénomène de Gibbs[6] en s'intéressant au comportement des séries de Fourier au voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici comme la...) des points de discontinuité.

Avancée conjointe des séries de Fourier et de l'analyse réelle

Le Mémoire sur les séries trigonométriques de Bernhard Riemann (1826-1866), publié en 1867[7], constitue une avancée décisive. L'auteur lève un obstacle majeur en définissant pour la première fois une théorie de l'intégration satisfaisante. Il démontre notamment que les coefficients de Fourier ont une limite nulle à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.), et un résultat de convergence connu comme le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à...) de sommabilité de Riemann.

Georg Cantor (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3 mars 1845, Saint-Pétersbourg - 6 janvier 1918, Halle) est un mathématicien allemand connu pour être le créateur de...) (1845-1918) publie une série d'articles sur les séries trigonométriques entre 1870 et 1872, où il démontre son théorème d'unicité. Cantor raffine ses résultats en recherchant des "ensembles d'unicité", pour lesquels son théorème reste vérifié. C'est l'origine de l'introduction de la théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.).

En 1873, Du Bois-Reymond (1831-1889) donne le premier exemple de fonction continue périodique dont la série de Fourier (En analyse, les séries de Fourier sont un outil fondamental dans l'étude des fonctions périodiques. C'est à partir de ce concept que s'est développé la branche des...) diverge en un point (Graphie)[8]. Le dernier quart du XIXe siècle voit relativement peu d'avancées dans le domaine des séries de Fourier ou de l'analyse réelle en général, alors que l'analyse complexe connaît une progression rapide.

Dans un note de 1900[9] et dans un article de 1904[10], Fejér ( 1880-1959) démontre son théorème de convergence uniforme (La convergence uniforme d'une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. Cette dernière demande en effet seulement que, pour chaque point x, la suite ait une limite....) utilisant le procédé de sommation de Cesàro (moyenne arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On...) des sommes partielles de Fourier). Surtout, il dégage un principe nouveau : l'association systématique entre régularisation au moyen d'un "noyau" et procédé de sommation pour la série de Fourier.

De nouveaux outils d'étude

Henri Lebesgue (1875-1941) donne à la théorie des séries de Fourier son cadre définitif en introduisant une nouvelle théorie de l'intégration. Dans un série de publications qui s'étalent de 1902 à 1910, il étend les théorèmes de ses prédécesseurs, notamment le théorème de Riemann sur la limite des séries de Fourier. Il prouve également plusieurs théorèmes de convergence nouveaux. La plupart de ses résultats figurent dans ses Leçons sur les séries trigonométriques publiées en 1906.

En 1907, Pierre Fatou 1878-1929) démontre l'égalité de Parseval (L'égalité de Parseval (parfois appelée également Théorème de Parseval ou Identité de Rayleigh) est une formule fondamentale de la théorie des séries de Fourier. On la doit au mathématicien français Marc-Antoine Parseval....) dans le cadre général des fonctions de carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la fois un rectangle...) sommable. La même année (Une année est une unité de temps exprimant la durée entre deux occurrences d'un évènement lié à la révolution de la Terre autour du Soleil.), Frigyes Riesz (1880-1926) et Ernst Fischer (1875-1954), de façon indépendante, prouvent la réciproque (La réciproque est une relation d'implication.). Ces résultats participent à la naissance d'un domaine nouveau, l'analyse fonctionnelle.

Dorénavant, les questions de convergence dans les espaces fonctionnels sont envisagées à travers l'étude des propriétés des suites de noyaux et des opérateurs associés. Une grande partie des résultats passe par des questions d'estimation de normes appelées "constantes de Lebesgue", qui deviennent un objet d'étude systématique.

Parallèlement, le problème de la convergence simple (La convergence simple ou ponctuelle est un critère de convergence dans un espace fonctionnel, c’est-à-dire dans un ensemble de fonctions. C'est un critère peu exigeant, en conséquence, en cas de...) des séries de Fourier donne lieu à plusieurs coups de théâtre avec la publication de résultats qui ont connu un grand retentissement et surpris les contemporains. En 1926, Andreï Kolmogorov (1903-1987) construit un exemple de fonction intégrable dont la série de Fourier diverge partout[11]. En 1966, Lennart Carleson (1928) établit au contraire [12] que la série de Fourier d'une fonction de carré sommable converge presque partout vers cette fonction. D'autres résultats (Kahane et Katznelson 1966, Hunt 1967) viennent compléter l'étude. Les recherches se portent ensuite sur la convergence des séries de Fourier à plusieurs dimensions, encore imparfaitement connue.

Spectre en fréquences

Une analyse de Fourier porte sur une fonction d'une variable réelle f, périodique, à valeurs réelles ou complexes, de période T. On note F l'inverse de T appelée fréquence fondamentale (En acoustique, la fréquence fondamentale ou son fondamental est l'harmonique de premier rang d'un son.) ou fréquence du fondamental.

La fonction f peut être supposée continue par morceaux, hypothèse suffisante pour exposer beaucoup de résultats intéressants, et qui s'applique à de nombreux cas concrets. Cependant la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) des coefficients de Fourier peut être étendue sans modification au cas d'une fonction périodique intégrable au sens de Lebesgue sur une période. Pour une fonction périodique, être de classe Lp implique l'intégrabilité.

Coefficients complexes

Les coefficients de Fourier (complexes) de f (pour n \in \Z) sont donnés par :

c_n(f) = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{-i \frac{2n\pi}{T}t}\,dt\,.

Par périodicité de l'intégrande (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un opérateur que l'on...), ces coefficients peuvent également être calculés en effectuant l'intégrale sur n'importe quel segment de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de...) T :

c_n(f) = \frac{1}{T} \int_{\alpha}^{\alpha +T} f(t) e^{-i \frac{2n\pi}{T}t}\,dt\,.

Si n>0, on appelle harmonique de rang n de la fonction f la fonction sinusoïdale de fréquence nF obtenue en tenant compte des coefficients de Fourier d'indice n et -n, donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) par :

x\mapsto c_n(f) e^{i\frac{2n\pi}{T}x} + c_{-n}(f)e^{-i\frac{2n\pi}{T}x}.

Pour n=0, le coefficient c0(f) n'est autre que la valeur moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils étaient tous...) de f.

La série de Fourier de f est la série de fonctions obtenue en sommant les harmoniques successifs, autrement dit la série de fonctions :

S_n(f)=\sum_{k=-n}^{k=n}c_k(f)e^{i\frac{2k\pi}{T}x}\,.

Une des questions à laquelle répond la théorie de Fourier est de déterminer le mode de convergence de cette série (convergence ponctuelle, convergence uniforme, convergence quadratique, ...).

Coefficients réels

Si la fonction f est à valeurs réelles, il peut être intéressant de manipuler des coefficients réels, afin d'éviter de faire appel aux complexes. On définit ainsi les coefficients de Fourier réels de f :

  • a_0(f) = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t)\,dt=c_0 ;
  • b0(f) = 0 ;
  • Pour n>0, a_n(f) = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cos\left(nt\frac{2\pi}{T}\right)\,dt ;
  • Pour n>0, b_n(f) = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \sin\left(nt\frac{2\pi}{T}\right)\,dt.

Dans la pratique, il peut être judicieux d'intégrer sur un intervalle de longueur T autre que [-T/2,T/2].

L'harmonique de rang n se réécrit alors comme la fonction :

x\mapsto a_n(f) \cos\left(nx\frac{2\pi}{T}\right) + b_n(f) \sin\left(nx\frac{2\pi}{T}\right) = \chi_n \cos\left(nx\frac{2\pi}{T} + \Phi_n\right)\,,

χn et Φn modulo ( En arithmétique modulaire, on parle de nombres congrus modulo n Le terme modulo peut aussi être associé à d'autres formes de congruence En informatique, le modulo...) 2π dépendent explicitement des an(f) et bn(f).

Attention : certains auteurs préfèrent écrire : a_0 (f)= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\, dt, ce qui ne s'interprète plus alors comme une valeur moyenne, mais en est le double. Cette dernière convention harmonise les définitions des coefficients qui commencent alors tous par 2 / T.

Les relations entre les an, les bn et les cn sont données comme suit :

  • \forall n\geq 0, c_{\pm n}(f)=\frac12(a_n(f)\pm i.b_n(f)) ;
  • Pour n > 0, an(f) = cn(f) + c n(f) et i.bn(f) = cn(f) − c n(f).

Les dernières identités restent vraies pour n = 0 sous la convention du coefficient en 2 / T.

Caractérisation des fonctions par les coefficients de Fourier

Si deux fonctions intégrables ont la même analyse en fréquences (mêmes coefficients de Fourier), elles sont alors égales presque partout. Dans le cas continu par morceaux, elles coïncident en tous les points sauf un nombre fini. Cette unicité découle des propriétés de densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme...) des polynômes trigonométrique qui sera établie par exemple par le théorème de Fejér ci-dessous. Par suite, seules les fonctions continues, 2π-périodiques, sont égales entre elles si et seulement si leurs coefficients de Fourier sont égaux.

En particulier, les seules fonctions continues dont tous ses coefficients de Fourier sont nuls sauf un nombre fini sont exactement les polynômes trigonométriques.

La parité d'une fonction se traduit sur les coefficients de Fourier :

  • ainsi une fonction f est paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b, et il s'écrit alors :), si et seulement si c-n(f)=cn(f)  pour tout n.
Si en outre f est réelle, cette propriété devient bn(f) = 0 pour tout n.
  • une fonction f est impaire, si et seulement si c-n(f)=-cn(f)  pour tout n
Dans le cas réel cela donne an(f) = 0 pour tout n.

Égalité de Parseval

Pour une fonction T-périodique continue par morceaux, ou plus généralement de carré intégrable sur une période, l'égalité de Parseval affirme la convergence de la série suivante et l'identité :

\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|c_n(f)|^2=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}|f(t)|^2dt = \frac{1}{T}\int_0^T|f(t)|^2dt= \|f\|^2\;.

Ce résultat est équivalent à une convergence en moyenne quadratique des séries de Fourier correspondantes (voir ci-dessous).

L'égalité de Parseval implique en particulier que les coefficients de Fourier de f tendent (suffisamment vite) vers 0 en l'infini. Suivant les hypothèses de régularité sur f, la vitesse (On distingue :) de convergence peut être précisée (voir ci-dessous).

Reconstitution des fonctions

Une des questions centrales de la théorie est celle du comportement de la série de Fourier d'une fonction et en cas de convergence de l'égalité de sa somme avec la fonction initialement considérée. Sous des hypothèses de régularité convenables, une fonction périodique peut effectivement se décomposer comme somme de fonctions sinusoïdales.

Théorème de convergence ponctuelle (de Dirichlet)

Un signal en dents de scie
Un signal en dents de scie (Une scie est un outil destiné à couper le bois ou d'autres types de matériaux, constituée d'une lame dentée et actionnée par diverses moyens tels que la main, l'électricité, l'eau, etc.)
Les cinq premières sommes partielles de sa série de Fourier
Les cinq premières sommes partielles de sa série de Fourier

Pour une fonction périodique f de période T, continue en un réel x, et dérivable à droite et à gauche en x, le théorème de Dirichlet affirme la convergence de sa série de Fourier évaluée en x et donne l'égalité :

f(x) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n(f) \cdot e^{i nx\frac{2\pi}{T}}.

Si f est à valeurs réelles, l'égalité ci-dessus se réécrit avec les coefficients de Fourier réels :

f(x) = a_0(f) + \sum_{n = 1}^{\infty} \left ( a_n (f) \cdot \cos \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right ) +  b_n(f) \cdot \sin \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right )\right ).

Les hypothèses peuvent être affaiblies. La fonction f peut seulement être continue à gauche et à droite en x et à variation bornée sur un voisinage de x. Dans ce cas, f(x) doit être remplacé par la valeur moyenne de f en x, soit donc la moyenne entre ses limites à droite et à gauche en x. La démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant sur un ensemble de...) du théorème se base sur le fait que la série de Fourier se calcule par produit de convolution (En mathématiques, le produit de convolution de deux fonctions réelles ou complexes f et g se note généralement «  » et s'écrit :) avec un polynôme trigonométrique aux propriétés remarquables : le noyau de Dirichlet.

Théorème de convergence uniforme de Dirichlet

Le théorème de convergence uniforme de Dirichlet est une version globale du théorème de convergence ponctuelle. Pour une fonction T-périodique et continument dérivable au voisinage d'un segment I, la série de Fourier de f converge uniformément vers f sur I.

La démonstration consiste à constater que les constantes dans les estimations de la preuve dut théorème de convergence ponctuelle peuvent être choisis indépendamment du point d'évalutation x\in I.

En particulier, pour les fonction continument dérivable et T-périodique, sa série de Fourier converge uniformément sur \mathbf R vers f.

Phénomène de Gibbs

Le phénomène de Gibbs est un effet de bord observé au voisinage d'une discontinuité de la fonction. Pour l'illustrer, voici la représentation des termes d'ordre 10,50,250 de la série de Fourier de la fonction "créneau (Au Moyen Âge, le mot créneau, ou en ancien français quernal, aquarniau, carnel ou créniau, désignait toute ouverture...)".

Phénomène de Gibbs
Approximation du créneau à l'ordre 10
Approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile. Bien qu'une approximation soit le plus souvent...) du créneau à l'ordre 10
Approximation du créneau à l'ordre 50
Approximation du créneau à l'ordre 50
Approximation du créneau à l'ordre 250
Approximation du créneau à l'ordre 250

Le polynôme trigonométrique n-ème terme de la série de Fourier, Sn(f), est une fonction continue, il est donc normal qu'il ne puisse approcher uniformément la fonction créneau qui, elle, ne l'est pas. Sur une des zones de "plateau", en dehors d'un voisinage de la discontinuité, cependant, la série de Fourier converge uniformément vers la fonction (elle en est indiscernable sur le dernier graphique).

Au niveau du point de discontinuité, Sn subit une forte oscillation (Une oscillation est un mouvement ou une fluctuation périodique. Les oscillations sont soit à amplitude constante soit amorties. Elles répondent aux mêmes équations quel que soit le domaine.), une sorte de "sursaut". Les images laissent soupçonner et le calcul montre effectivement que l'amplitude (Dans cette simple équation d’onde :) de ce sursaut tend vers une constante. Précisément si la fonction a une discontinuité d'amplitude Δy, alors Sn, tout en restant continue, connaîtra un "saut" en ordonnée valant de l'ordre de 18% de plus.

Note : un phénomène analogue peut être analysé lorsqu'on étudie les polynômes d'interpolation de Lagrange lorsque le nombre de points d'interpolation tend vers l'infini : c'est le phénomène de Runge.

Convergence en moyenne quadratique

La convergence en moyenne quadratique concerne la convergence pour la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une...) hermitienne :

\|f\|^2=\int_{0}^T|f(t)|^2dt

Cette norme est définie par exemple sur l'espace E des fonctions T-périodiques et continues, ou sur l'espace F des fonctions T-périodiques mesurables de carré intégrable identifiées modulo égalité sur un ensemble négligeable (En théorie de la mesure, un ensemble négligeable ou un ensemble de mesure nulle est une partie d'un ensemble mesuré dont la définition dépend de la mesure que l'on utilise ou plutot de...). La norme dérive du produit scalaire :

(f\cdot g)= \frac1T\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\overline{g(t)} dt.

L'espace E est dense dans l'espace F et l'espace normé F est complet ; il peut être obtenu comme le complété de E.

Introduisons la fonction exponentielle complexe d'indice n

e_n : x\mapsto e^{in\frac{2\pi}{T}x}.

La famille (en) forme une famille orthonormale. Cette famille est notamment libre. L'espace qu'elle engendre est l'espace des polynômes trigonométriques, sous-espace de E. Le n-ième coefficient de Fourier de f est le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs...) de f par en :

cn(f) = < f | en >

En particulier, le n-ième polynôme trigonométrique de f est la projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) orthogonale de f sur l'espace engendré par (e_k)_{-n\leq k\leq n}.

  • La famille (en) est une base de Hilbert : le sous-espace des polynômes trigonométriques est dense dans E et dans F.
  • La série de Fourier d'une fonction T-périodique de carré intégrable sur une période converge en nome L2 vers la fonction considérée.

Une conséquence est l'égalité de Parseval.

Théorème de Fejér

Le théorème de Féjer consiste à améliorer la convergence donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par le théorème de convergence uniforme de Dirichlet en effectuant une limite de Césaro des sommes partielles de la série de Fourier. Pour une fonction continue et T-périodique, on note :

S_n (f)= \sum_{k = -n}^{n} c_k (f)\cdot e^{i kx\frac{2\pi}{T}} puis \sigma_N (f)= \frac1N\sum_{k = 0}^{N-1} S_N(f)= \sum_{k = -N+1}^{N-1} \frac {N-k}{N} c_k(f) \cdot e^{i kx\frac{2\pi}{T}}

Le théorème de Féjer affirme que, sous la seule hypothèse de continuité, la suite des fonctions σN(f) converge uniformément vers f.

Ce théorème de Fejér constitue une démonstration possible de la version trigonométrique du théorème de Stone-Weierstrass. Il se démontre en utilisant les propriétés d'un polynôme trigonométrique particulier : le noyau de Fejér d'indice n est positif et la suite de ces noyaux constitue une approximation de l'identité.

σN(f) est un polynôme trigonométrique admettant des fréquences s'étalant de nf à nf. Pour chaque fréquence, le coefficient précédent est modifié. Les nouveaux coefficients tendent à donner plus d'importance aux petites fréquences et à amortir les termes de fréquence élevée, ce qui permet de lisser les comportements trop brusques.

Convergence simple

Les résultats positifs obtenus en envisageant d'autres modes de convergence ne font pas perdre sa pertinence à l'étude de la convergence simple.

Dans le cadre des fonctions continues, le théorème de Fejér permet d'affirmer que si la série de Fourier de f converge simplement, alors elle admet pour limite la fonction f. En revanche des considérations d'analyse fonctionnelle permettent de prouver qu'il existe une fonction continue dont la série de Fourier diverge en au moins un point : précisément il s'agit d'une application du théorème de Banach-Steinhaus à l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) de convolution par la fonction noyau de Dirichlet. Il est également possible d'en donner des exemples explicites simples. C'est ainsi le cas de la fonction -périodique définie par

\forall x\in [-\pi,\pi], \,\, f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac1{n^2} \sin \left(\left(2^{n^3}+1\right)\frac {|x|} 2\right)

Les domaines de divergence possibles sont connus grâce à deux théorèmes complémentaires.

  • D'une part, selon un théorème de Kahane et Katznelson, pour tout ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble),...) de mesure de Lebesgue (La mesure de Lebesgue doit son nom au mathématicien français Henri Léon Lebesgue. Elle est d'une importance capitale en théorie de l'intégration.) nulle, on peut trouver une fonction continue dont la série de Fourier diverge en tout point de cet ensemble[13].
  • D'autre part, selon le théorème de Carleson, la série de Fourier d'une fonction continue converge presque partout vers cette fonction.

Si on élargit le cadre aux fonctions intégrables sur une période,

  • le théorème de Kolmogorov assure qu'il existe une fonction intégrable dont la série de Fourier diverge en tout point,
  • en revanche le théorème de Lennart Carleson cité (La cité (latin civitas) est un mot désignant, dans l’Antiquité avant la création des États, un groupe d’hommes sédentarisés libres (pouvant avoir des esclaves), constituant une...) plus haut a été prouvé dans le cadre des fonctions L2 et possède même une extension aux espaces Lp pour p>1[14]. Pour de telles fonctions, la série de Fourier de f converge presque partout.

Applications

Calculs de séries

L'application des théorèmes de Dirichlet et de Parseval, précédemment énoncés, permettent de calculer la valeur exacte de la somme de séries numériques remarquables, parmi lesquelles :

\frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}
\frac{\pi^2}{12} = 1 - \frac{1}{2^2} + \cdots + (-1)^{n+1}\frac{1}{n^2} + \cdots= \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}
\frac{\pi^2}{8} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \cdots + \frac{1}{(2n+1)^2} + \cdots=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}
\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots + \frac{(-1)^n}{2n+1} + \cdots=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1} (formule de Leibniz)
\frac{\pi-1}{2} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n)}{n} = \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\sin(n)}{n}\right)^{2}

La valeur de la série numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition...) \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{2p}}, c'est-à-dire la valeur de la fonction Zeta (La fonction zeta (d'après la lettre grecque zêta, ou ζ) est le nom de nombreuses fonctions en mathématiques. La plus connue est la fonction zeta de Riemann.) de Riemann pour les entiers pairs,


Équations aux dérivées partielles

Inégalités fonctionnelles

L'analyse de Fourier permet de donner des expressions nouvelles pour l'opération de dérivation, et d'en tirer des estimées intéressantes.

Ainsi l'inégalité de Wirtinger s'applique à une fonction f de classe \mathcal {C}^1, -périodique et de valeur moyenne nulle. Elle compare les normes de f et de sa dérivée (normes de la convergence en moyenne quadratique)

\|f\|_2^2\leq \|f'\|_2^2 c'est-à-dire \int_{-\pi}^{\pi} |f(t)|^2 dt \leq  \int_{-\pi}^{\pi} |f'(t)|^2 dt

Ce résultat peut servir à son tour à établir le théorème isopérimétrique : le cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette...) est la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les...) fermée enserrant un domaine connexe d'aire maximale pour une longueur donnée.

Un autre exemple d'application est l'inégalité de Bernstein. Celle-ci s'applique à une fonction de la forme suivante

f(t)=\sum_{k=1}^p \alpha_k e^{i\lambda_k t}

avec des coefficients αk complexes et des coefficients λk réels (ce n'est donc pas nécessairement un polynôme trigonométrique) et distincts. L'inégalité permet de comparer cette fois les bornes supérieures de f et de sa dérivée :

\|f'\|_\infty \leq \max\limits_{1\leq k\leq p}|\lambda_k|\cdot \|f\|_\infty.

La démonstration de l'inégalité de Bernstein réside sur l'écriture de f′ comme une combinaison infinie de translatées de f, à l'aide d'une formule d'analyse de Fourier.

Comportement des coefficients

Effet des opérations sur les coefficients

Pour une fonction continue et \mathcal C^1 par morceaux, on établit, par intégration par parties,

c_n(f\, ')=2i \pi n c_n(f)/T.

Plus généralement, pour une fonction de classe \mathcal C^{k} et \mathcal C^{k+1} par morceaux, on établit

cn(f(k + 1)) = (2iπn / T)k + 1cn(f).

Coefficients et régularité de la fonction

  • Le théorème de Riemann-Lebesgue montre que les coefficients de Fourier d'une fonction f intégrable sur une période tendent vers 0 lorsque n tend vers l'infini.
  • L'identité de Parseval admet une réciproque : une fonction est de carrés sommable sur une période si et seulement si la série des carrés des modules des coefficients de Fourier converge. C'est le théorème de Riesz-Fischer
  • Il existe peu de caractérisations analogues pour d'autres espaces fonctionnels. On peut affirmer cependant qu'une fonction périodique est {\mathcal C}^\infty si et seulement si ses coefficients de Fourier sont à décroissance rapide
\forall p\in \mathbb{N}, \qquad c_n(f)=o\left(\frac1{|n|^p}\right) en \pm \infty
Plus précisément, si la fonction est de classe \mathcal C^{k}, ses coefficients de Fourier sont négligeables devant \frac1{n^k}.
Réciproquement, si les coefficients de Fourier sont dominés par \frac1{n^{k+2}}, alors la fonction est de classe \mathcal C^{k}.

Extension du concept de série de Fourier

Extension aux distributions

Les séries de Fourier se définissent par analogie pour les distributions. Une distribution D est par définition une application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte...) sur l'espace des fonctions. D est dite T-périodique lorsque sa valeur sur une fonction test f et sur sa T-translatée. Dans ce cas, il existe une distribution à support compact d telle que D est la somme de la série suivante au sens des distributions :

D=\sum_{k\in \mathbb{Z}} t_{kT}d.

Les coefficients de Fourier de D sont alors définis comme suit :

c_p(D)=\frac1T < d , e^{-i\frac{2p\pi}{T}t}>\,.

Ces coefficients ne dépendent pas du choix de d. Ils sont " à croissance lente ", c'est-à-dire dominés par une expression polynomiale.

La série de Fourier converge vers D au sens des distributions :

D=\sum_{p\in \Z}c_p(D)e^{i\frac{2p\pi}{T}t}\,.

Réciproquement, si on considère une suite à croissance lente (La Lente est une rivière de la Toscane.), la série trigonométrique correspondante converge au sens des distributions vers une distribution périodique. Un exemple d'utilisation est le peigne de Dirac.

Espaces de Hilbert

Les espaces de Hilbert sont les espaces vectoriels munis d'un produit scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut...) et qui sont complets pour la norme associée. L'espace des fonctions T-périodiques, de carré sommable, identifiées par la relation d'égalité presque partout, possède une structure de ce type. Identité de Parseval et théorème de Riesz-Fischer montrent que les fonctions trigonométriques élémentaires forment une base hilbertienne, et les coordonnées d'une fonction sont données par ses coefficients de Fourier.

Tout espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit scalaire ou hermitien par la formule . C'est la généralisation en dimension quelconque d'un espace euclidien...) séparable et de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) infinie E est muni d'une telle base, et l'application qui à un élément de l'espace associe ses coefficients (encore appelés "coefficients de Fourier") est une isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie est donc un cas particulier de similitude.) de E dans l'espace l2.

Il est possible d'envisager également des espaces de Hilbert non séparables, ainsi il existe des coefficients de Fourier-Bohr pour les fonctions presque périodiques. On ne pose alors plus de conditions sur le rapport de fréquences pour les fonctions trigonométriques de référence.

Série et transformation de Fourier

La décomposition en séries de Fourier est également généralisée aux fonctions non périodiques avec la théorie de la transformée de Fourier (En analyse, la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries de Fourier pour les fonctions non périodiques, et permet de leur associer un spectre en...) et la notion de densité spectrale. Pour une présentation élémentaire, voir Analyse spectrale (L'analyse spectrale est une méthode utilisée en physique pour déterminer les caractéristiques d'un phénomène observé. L'intensité du phénomène en fonction du...).

Série et transformation de Fourier sont reliées par la formule sommatoire de Poisson (Dans la classification classique, les poissons sont des animaux vertébrés aquatiques à branchies, pourvus de nageoires et dont le corps est le plus souvent couvert...).

Notes et références

  1. (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, Madhava of Sangamagramma, MacTutor History of Mathematics archive. (consulté en 2000)
  2. Jean-Pierre Kahane, Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset, Séries de Fourier et ondelettes [détail des éditions], p. 33 et suivantes
  3. Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides, disparu depuis des archives de l'Institut (Un institut est une organisation permanente créée dans un certain but. C'est habituellement une institution de recherche. Par exemple, le Perimeter...) et connu à travers un abrégé paru sous la signature de Siméon Denis Poisson dans le Nouveau Bulletin des sciences par la Société philomatique de Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région d’Île-de-France. Cette ville est construite sur une boucle de la Seine, au centre du bassin parisien, entre...), t. I, p. 112-116, n°6; mars 1808. Paris, Bernard
  4. Joseph Fourier, Théorie analytique de la chaleur, voir le texte sur Gallica, alinéa 235 p. 259 et alinéa 417 p. 551
  5. Gustav Lejeune-Dirichlet, Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données, Journal de Crelle 4 (1829) p. 157-169
  6. Henry Wilbraham, On a certain periodic function, Cambridge Dublin Math. J. 3, 1848
  7. Œuvres de Riemann, 2ème édition, p. 230
  8. Paul David Gustave Du Bois-Reymond, Eine neue Theorie der Convergenz und Divergenz von Reihen mit positiven Gliedern, Journal für die reine und angewandte Mathematik 76 (1873) p. 61-91.
  9. Lipót Fejér, Sur les fonctions intégrables et bornées, C.R. Acad. Sci. Paris, 10 décembre 1900
  10. Leopold Fejér, Untersuchungen über Fouriersche Reihen, Math. Annalen, 58, 1904
  11. Andreï Kolmogorov, Une série de Fourier-Lebesgue divergente partout, C. R. Acad Sci. Paris, 183, p. 1327-28
  12. Lennart Carleson, Convergence and growth of partial sums of Fourier series, Acta Math. 116, p. 135-157
  13. J.-P. Kahane, Y. Katznelson, Sur les ensembles de divergence des séries trigonométriques, Studia Math, 26, 305-306
  14. R.A. Hunt, On the convergence of Fourier series orthogonal expansions and their continuous analogues, Proc Conf Edwardsville 1967, p 235-255, Southern (Southern est le nouveau nom de la concession ferroviaire, initialement exploitée par Connex South Central, desservant les lignes du sud de Londres, du Surrey et du...) Illinois University Press, Carbondale, III, 1968
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