Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires |
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Le calcul intégral est la deuxième des idées du calcul infinitésimal.
Soit une fonction définie sur un intervalle . Une fonction est une primitive de sur l’intervalle si est dérivable sur et si pour tout de , .
Théorème :
Si est une fonction continue sur un intervalle , alors il existe au moins une fonction dérivable sur telle que soit la dérivée de sur . est alors une primitive de sur .
Par exemple, si est définie sur par , alors la fonction définie sur par admet pour dérivée , et donc est une primitive de sur .
Un autre exemple, si est définie sur par , alors la fonction définie sur par est une primitive de sur .
Remarque :
Soit une fonction définie sur un intervalle .
Si est une primitive de sur , alors pour toute constante , la fonction définie sur par est aussi une primitive de sur car la dérivée d'une application constante est la fonction nulle.
Nous en déduisons que si admet une primitive sur alors elle en admet une infinité.
Proposition :
Deux primitives d’une fonction diffèrent d’une constante.
En effet soit une fonction définie sur un intervalle , et deux primitives de .
Nous avons donc .
étant un intervalle, nous en déduisons qu’il existe une application constante définie sur telle que soit
Ensemble des primitives d’une fonction sur un intervalle
Soit une fonction définie sur un intervalle .
Si admet une primitive sur , alors l'ensemble des primitives de sur est l'ensemble des fonctions de la forme :
où est une constante réelle.
Par exemple, si est la fonction définie sur par :
alors la fonction définie sur par
est une primitive de sur et donc toutes les primitives de sur sont les fonctions de la forme :
où constante réelle.
Conséquences :
Question :
Soit l’application définie sur par :
Quelle est la primitive de vérifiant la condition initiale ?
Réponse:
On calcule d'abord la forme générale des primitives de :
Reste maintenant à trouver la valeur de telle que .
On résout l'équation et on obtient .
Conclusion : .
Soit une fonction définie sur un intervalle et admettant des primitives sur . Soient et dans . Soit une primitive de sur .. Nous appelons intégrale de à de , le nombre :
qui ne dépend pas du choix de la primitive de , puisque les primitives de sur l’intervalle diffèrent d’une fonction constante. Nous notons ce nombre :
qui se lit " intégrale de à de ", et nous pouvons aussi le noter
qui se lit " . pris entre . et . "
Dans la notation avec le symbole ?, joue le rôle d’une variable muette, et nous avons
de plus le nombre représenté par cette intégrale ne dépend pas de .
Remarquons dans le cas où est continue sur , que l’application définie sur :
n’est autre que la primitive de qui s’annule en et cette fonction est donc la seule fonction dérivable sur telle et .
Nous avons donc
Linéarité de l'intégrale
Si et sont deux fonctions définies sur un intervalle et admettant des primitives sur , alors la fonction admet aussi des primitives sur et pour tout et tout de , on a :
De plus, si est un réel quelconque alors la fonction admet des primitives sur et :
Relation de Chasles
Soient et deux réels de l’intervalle . Si une fonction définie sur et admettant des primitives sur , alors pour tous , et dans
En effet si est une primitive de sur alors :
En prenant dans la relation de Chasles, nous obtenons :
en effet
Positivité de l’intégrale
Soit une fonction définie sur l'intervalle qui admet des primitives sur , et si et sont deux réels dans tels que .
Si pour tout réel de , alors
En effet sous cette condition, toute primitive de sur l’intervalle est croissante.
Conséquences :
Croissance de l’intégrale
Si et admettent des primitives sur et si pour tout dans , alors
(il suffit de poser et d'utiliser la positivité et la linéarité de l’intégrale)
Inégalité de la moyenne
S’il existe et des réels tels que pour tout dans , , alors
S’il existe un réel tel que pour tout dans , , alors
S’il existe un réel tel que pour tout dans , , alors pour tout et tout dans ,
Forme simple du premier théorème de la moyenne
Si est continue sur , alors pour tout et tout dans , il existe un réel compris entre et tel que :
Valeur moyenne d'une fonction
Si admet des primitives sur un intervalle , si et sont dans tels que <, nous appelons valeur moyenne de sur , le nombre :
Parité
Soit une fonction qui admet des primitives sur un intervalle centré en 0. Si est un réel, tel que et appartiennent à , alors:
Un cas particulier :
Soient et deux réels tels que . Soit une fonction constante sur et soit tel que
Alors l’intégrale de à de est égale à - et représente l’aire algébrique du rectangle de sommets , , et .
Théorème :
Soient et deux réels tels que . Soit une fonction continue sur . Soit , , …, une suite strictement croissante de points partageant le segment en intervalles de longueur
Nous avons alors pour tout compris entre et ,
Alors la somme
tend vers lorsque tend vers .
Interprétation graphique :
Cette somme (appelée somme de Riemann) représente graphiquement la somme algébrique des aires des rectangles de gauche et est une valeur approchée de .
Si est une fonction positive continue sur et si est la courbe représentative de dans le plan rapporté à un repère orthogonal ; , , est la mesure de l’aire du domaine du plan ? délimité par , l’axe des abscisses et les droites d’équations = et =. L’unité d’aire étant l’aire du rectangle .
Théorème :
Soit un intervalle. Soient et deux fonctions dérivables sur telles que les fonctions et soient continues sur . Soit un réel dans . Alors, pour tout réel dans
En particulier :
Théorème :
Soient et deux réels tels que . Soient et deux fonctions dérivables sur et telles que les fonctions , , et soient continues sur . Alors :
On peut généraliser cette formule aux fonctions de classe Ck + 1
On considère ici le cas d'une fonction définie sur . On définit le " pas " d'approximation de la manière suivante : ; détermine la précision de l'approximation. On définit aussi .
La méthode des rectangles revient à une approximation de par une fonction en escalier, avec " marches " de longueur . La valeur approchée de l'intégrale vaut alors :
.
On utilise une fonction continue affine par morceaux approchant la fonction à intégrer et égale à celle-ci sur les points de la subdivision en sous-intervalles égaux de l'intervalle d'intégration pour obtenir une approximation de la valeur de son intégrale sur .
En remplaçant par des trapèzes les rectangles utilisés précédemment, on obtient :
.
On peut déterminer la précision de cette approximation en utilisant la formule suivante :
où est la borne supérieure de la valeur absolue de la dérivée d'ordre 2 de sur et la valeur exacte de l'intégrale.
On utilise maintenant des paraboles que l'on fait passer par trois points consécutifs du découpage en segments de l'intervalle d'intégration de .
On s'appuie sur le résultat exact suivant où est une fonction polynomiale de degré deux :
Si , et sont trois réels tels que , alors On obtient alors une valeur approchée de avec la formule suivante :
où et
On peut ici aussi déterminer la précision de la méthode, avec la formule suivante :
où est la borne supérieure de la valeur absolue de la dérivée d'ordre 4 de sur et la valeur exacte de l'intégrale.
On utilise aussi en analyse numérique une méthode basée sur l'orthogonalité des polynômes de Legendre. pour le produit scalaire
Elle est appelée méthode de Gauss-Legendre, et permet de calculer avec une grande précision les intégrales de fonctions suffisamment régulières sur un segment
Il suffit de réaliser une application affine de sur , et de remarquer que
où sont les racines du polynôme de Legendre de degré
et où sont les poids de ces racines, qui sont tels que l'égalité
est assurée pour toute fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à
Les premiers polynômes sont
...
Une excellente précision est garantie dès que . Des tables permettent d'obtenir les valeurs des points et leurs poids.
Numéro | Abscisse | Poids |
---|---|---|
1 | ||
2 | ||
3 |