Benoît Mandelbrot - Définition
Benoît Mandelbrot (20 novembre 1924 - ) est un mathématicien français. Il a travaillé au début de sa carrière sur des applications originales de la théorie de l’information, puis développé ensuite une nouvelle classe d’objets mathématiques : les objets fractals, ou fractales.
Biographie
Né à Varsovie en Pologne, il a vécu en France durant la plus grande partie de sa vie. Mandelbrot est né dans une famille avec une forte tradition académique : sa mère était médecin et son oncle Szolem Mandelbrot était professeur de mathématiques au Collège de France ; son père, lui, a bâti sa vie sur la revente de vêtements. Sa famille a quitté la Pologne pour Paris afin de fuir la menace hitlérienne, en raison de leurs origines juives. Là-bas, Mandelbrot a été initié aux mathématiques par ses deux oncles. Il débute ses études au lycée du Parc à Lyon en " HX5 ".
Années de jeunesse : un départ brillant
Après avoir quitté l’École polytechnique (promotion X44) où il a suivi les cours de Paul Lévy, il s’intéresse aux phénomènes d’information, les idées de Claude Shannon étant alors en plein essor. Intrigué par la loi de Zipf, empirique et contestée, il la pose en termes de minimisation des coûts de stockage et d’utilisation des mots par l’esprit. Par élimination de la variable de coût entre les deux équations se révèle une loi qui n’a cette fois-ci plus rien d’empirique : c’est la loi de Mandelbrot, dont celle de Zipf n’est qu’un cas particulier, et qui répond mieux qu’elle aux observations (expliquant en particulier le coude toujours observé dans les distributions et non expliqué par la loi de Zipf). Ce travail lui vaut une notoriété immédiate, en particulier grâce à un ouvrage de Léon Brillouin : Science et théorie de l’information qui aura d’ailleurs un succès bien plus grand dans sa traduction anglaise Science and information theory (les conventions typographiques catastrophiques de l’ouvrage français n’y sont pas étrangères).
La traversée du désert
Il quitte alors la France pour rejoindre les États-Unis d'Amérique attiré par une plus grande liberté de créativité non restreinte à une seule discipline précise. Il travaille comme chercheur à IBM en recherches sur la transmission optimale dans les milieux bruités, tout en poursuivant son travail sur des objets étranges jusque là assez négligés par les mathématiciens : les objets à complexité récursivement définie comme la courbe de Von Koch auxquels il pressent une unité. Le mathématicien Felix Hausdorff a d’ailleurs préparé le terrain en définissant pour ces objets une dimension non-entière, la dimension de Hausdorff. Quant au mathématicien Gaston Julia, il a défini des objets qui ont un air de famille avec le tout. Mais Mandelbrot avouera que ce domaine qui le passionnait lui semblait si abstrait et si peu susceptible de quelque application que ce soit, et intéressait si peu de monde autour de lui, qu’il désespérait de l’avoir choisi et pensa même quelque temps au suicide.
Un nouveau paradigme
Il signe en 1973 dans une revue d’économie un article au titre bien prudent : Formes nouvelles du hasard dans les sciences. Cet article répertorie les cas où, contrairement au paradigme classiquement utilisé, les aléas ne s’annulent pas, mais au contraire se cumulent, et où la prédiction statistique classique ne fonctionne plus. Il cite bien entendu des exemples pris dans son domaine à IBM, la transmission du signal, mais également dans des domaines inattendus : les crues du Nil, la forme des nuages, celle des fleuves.
Il y arrive brillamment à la conclusion qu'il n'y pas une forme de hasard, qui conduirait toujours à une égalisation par la loi des grands nombres. Il s’agit là d’une illusion due au fait que nous n’étudions que ces exemples en nous détournant des autres comme mal conditionnés, comme les mathématiciens se sont détournés de la courbe de von Koch qu’ils considéraient comme un objet monstrueux : les sphères ou les triangles sont considérés comme des objets acceptables par les mathématiciens de l’époque, mais pas les nuages ni les arbres (du moins en tant qu’objets géométriques). Les mathématiques de cette époque restent muettes sur les monstres. Pas étonnant dans ces conditions que les mathématiques existantes soient considérées comme ayant un immense pouvoir d’explication des phénomènes scientifiques, car nous ne considérons comme scientifiques que les phénomènes qu’elles permettent d’expliquer ! Nous sommes pris dans le piège d’un argument circulaire dont nous ne pouvons plus sortir.
Or, ajoute Mandelbrot, c’est l’essentiel des phénomènes de la nature qui obéissent à cet autre type de hasard où l’on ne peut appliquer la loi des grands nombres. Le modèle standard nous fait passer à côté de la plus grande partie de la réalité, et va jusqu’à nous empêcher même de la voir.
Il cite alors comme exemple de cette nouvelle forme de hasard à étudier l’exemple qui deviendra célèbre de la côte de Bretagne, dont la longueur dépend de l’échelle à laquelle on la mesure, et qui possède une dimension de Hausdorff non-entière, comprise entre 1 et 2 : elle ne constitue à proprement parler ni un objet à une dimension, ni un objet à deux dimensions, et c’est en acceptant l’idée de dimension non-entière que nous allons pouvoir attaquer ces objets qui ont toujours échappé à notre étude : la théorie fractale est dès cet article officieusement lancée.
Les principes en seront publiés avec très grande quantité d’exemples (hydrologie, structure du poumon, granulation des bétons, paradoxe d'Olbers, turbulences en mécanique des fluides, urbanisme des villes, et même… trous du fromage d’Appenzell) dans un ouvrage qui fait depuis référence : Les Objets fractals - Forme, hasard et dimension en 1974. Il y présente au lecteur des objets jusqu’alors peu connus : courbe de Von Koch, éponge de Sierpinski (ou éponge de Menger, ou de Sierpinski-Menger), que les mathématiciens gardaient pudiquement dans leurs tiroirs. Tous ces exemples ont en commun ce que l’auteur nomme une homothétie d’échelle et qu’il désignera quelques années plus tard sous le nom d’autosimilarité (self-similarity).
Le caractère novateur du livre (paru au départ en France) en fait un succès immédiat, mondial, et qui touche cette fois-ci le grand public. Il est à noter que les exemples de la première édition de cet ouvrage étaient tous en noir et blanc pour des raisons d’économie et de technologie des écrans. Par la suite, les fractales se révélant un outil efficace pour la synthèse d'images complexes, on n’en verra plus qu’en couleurs.
Mandelbrot a donné son nom à une famille de fractales (dites de Mandelbrot), fabriquées dans le plan complexe par itérations successives du type z (nouveau) = z² + constante.
Son travail sur les fractales en tant que mathématicien à IBM lui a valu un " Emeritus Fellowship " au laboratoire de recherche T. J. Watson. Ses travaux y ont été repris par son collaborateur, Richard Voss. Il a été lauréat de la médaille Franklin en 1986.
En plus de la découverte des fractales en mathématiques, il a montré le grand nombre d’objets bien décrits par des fractales dans la nature, conduisant ainsi à de nouveaux terrains de recherche. Des fractales se retrouvent également dans des phénomènes étudiés en théorie du chaos.
Il a rejoint l’université Yale en 1987.
En 1991, Mandelbrot (systématiquement invité à tout hasard à chaque congrès portant sur les fractales) se rendit compte qu’il y en avait eu plus sur la planète cette année-là que de jours dans l’année !
Le 23 novembre 1990 il est fait chevalier de la Légion d'honneur, et est promu officier le 1er janvier 2006 , une distinction qui lui est remise le 11 septembre 2006 par son camarade de promotion à l'École polytechnique, le sénateur Pierre Laffitte.
La finance
Benoît Mandelbrot est également à l'origine en 1961 d'un modèle d'évolution des cours de la bourse basée sur la géométrie fractale. Cette théorie financière a l'avantage de mieux prédire la survenue des variations extrêmes, ce que ne permet pas l'usage de l'analyse technique basée sur la théorie de Dow. D'abord reconnue pertinente, elle a été ensuite mise de côté pour cause de complexité, avant d'être réutilisée depuis la fin des années 1990, riches en turbulences financières.
Bibliographie
- Les Objets fractals : forme, hasard, et dimension, 1973.
- Les Objets fractals, survol du langage fractal, Flammarion, 1975, 1984, 1989, 1995.
- Fractales, hasard et finance, Flammarion, 1959, 1997.
- Une approche fractale des marchés, Benoît Mandelbrot & Richard Hudson, éditions Odile Jacob, 2005.