Le théorème de Löwenheim-Skolem fait partie de la théorie des modèles. Sa simplicité et sa puissance en font un théorème majeur — avec le théorème de compacité.
Théorème
Soit T une théorie du premier ordre.
- Énoncé
- Si T admet un modèle infini, ou des modèles finis arbitrairement grands, elle admet un modèle de n'importe quel cardinal plus grand que celui de T.
- En particulier, quand T est finiment axiomatisable, et admet un modèle infini, elle admet un modèle dénombrable.
- Preuve
- Avec des modèles finis arbitrairement grands, on peut ajouter, à la théorie, des constantes ci deux à deux distinctes. Toute partie finie de la théorie admet un modèle ; par compacité, on obtient un modèle infini.
Variante
Si le modèle est infini, le théorème de Löwenheim-Skolem permet d'augmenter son cardinal à n'importe quel cardinal supérieur.
Corollaires
- Le théorème de Löwenheim-Skolem permet par exemple de montrer que la logique du premier ordre est strictement inférieure à celle du second ordre.
- Si on applique le théorème à la théorie des ensembles ZFC, ou à une autre théorie axiomatique destinée à fonder les théorèmes de Cantor, on obtient un univers dénombrable de tous les ensembles définis dans ZFC. Mais on peut prouver dans ZFC qu'il existe des ensembles indénombrables. Autrement dit ZFC affirme qu'il existe plus d'ensembles qu'elle n'en peut définir : c'est le paradoxe de Skolem.