Trisection de l'angle - Définition
La trisection de l'angle est un problème classique de mathématiques. C'est un problème géométrique, faisant partie des trois grands problèmes de l'Antiquité, avec la quadrature du cercle et la duplication du cube. Ce problème consiste à diviser un angle en trois parties égales, à l'aide d'une règle et d'un compas.
S'il est facile de partager un angle en deux en construisant sa bissectrice, s'il est aisé de partager l'angle droit en trois à l'aide de triangles équilatéraux, beaucoup de mathématiciens ont longtemps cherché, en vain, une méthode géométrique pour réaliser la trisection d'un angle quelconque. Dès le IIIe siècle av. J.-C., Archimède proposa une méthode par ajustement. Au IIe siècle av. J.-C., Nicomède conçut la conchoïde de droite pour s'approcher de la solution. Mais en 1837, Pierre-Laurent Wantzel démontra un théorème qui permit d'exhiber la forme des équations des problèmes impossibles à résoudre à la règle et au compas. L'équation de la trisection de l'angle étant de cette forme, la construction est donc impossible à réaliser selon ces règles.
La trisection de l'angle est en revanche réalisable en pliant une feuille de papier, par une construction due à Hisashi Abe (1980), qu'illustre la figure ci-contre :
- On trace la droite d passant par le coin A de la feuille de sorte qu'elle forme, avec le bord inférieur h0 de la feuille, l'angle à couper en trois.
- Deux bandes horizontales de même largeur (arbitraire) sont tracées en bas de la feuille (ceci peut se faire facilement par pliage.) On appelle h1 et h2 les nouvelles droites qui les délimitent.
- Il faut maintenant plier la feuille le long d'un pli p de sorte que le coin A se trouve déplacé sur la droite h1 (en un point A'), en même temps que le point B (intersection du bord gauche avec la droite h2) se trouve déplacé sur la droite d en un point B'.
- La droite t passant par A et A' est alors la trisectrice de l'angle donné: l'angle formé par h0 et t vaut 1/3 de l'angle formé par h0 et d.
La preuve est élémentaire et nécessite des théorèmes sur les quadrilatères, les angles alterne-interne ou correspondants et la symétrie axiale.
Il existe une méthode équivalente à ce pliage utilisant une équerre.
La relation entre la construction géométrique et la théorie algébrique est développée dans l'article Nombre constructible. Les démonstrations algébriques se trouve dans l'article Tour d'extension quadratique.
