Hypothèse de Riemann - Définition
L'hypothèse de Riemann est une conjecture formulée en 1859 par le mathématicien Bernhard Riemann. Elle dit que les zéros non triviaux de la fonction Zeta de Riemann ont tous pour partie réelle 1/2. Sa démonstration améliorerait la connaissance de la répartition des nombres premiers.
Cette conjecture constitue l'un des problèmes non résolus les plus importants des mathématiques du début du XXIe siècle : elle est l'un des fameux problèmes de Hilbert proposés en 1900, et fait l'objet d'un des problèmes Clay pour le troisième millénaire, doté d'un prix d'un million d'USD !
Historique
Riemann mentionna la conjecture, qui sera appelée plus tard hypothèse de Riemann, dans son article paru en 1859 Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une taille donnée)[1], mais cette conjecture n'étant pas le sujet principal de son article, il n'attend pas de démonstration. Riemann savait que les zéros non triviaux de la fonction Zeta étaient distribués symétriquement autour de la ligne 
et savait que tous les zéros non triviaux se trouvaient dans la bande 
.
En 1896, Hadamard et de la Vallée-Poussin prouvèrent indépendamment qu'aucun zéro ne pouvait se trouver sur la ligne 
, ainsi que tous les zéros non triviaux devaient se trouver dans l'intérieur de la bande critique 0 < Re(s) < 1. Ceci était un résultat clé dans la première démonstration complète du théorème des nombres premiers.
En 1900, Hilbert incluait l'hypothèse de Riemann dans sa célèbre liste de 23 problèmes non résolus — il fait partie du 8e problème, celle-ci comprenant aussi la conjecture de Goldbach. Il aurait dit à propos de ce problème : " Si je devais me réveiller après avoir dormi pendant mille ans, ma première question serait : L'hypothèse de Riemann a-t-elle été prouvée ? ". L'hypothèse de Riemann est le seul problème de Hilbert à figurer dans la liste des problèmes du prix du millénaire de l'institut de mathématiques Clay.
En 1914, Hardy a prouvé qu'il y avait une infinité de zéros sur la droite critique 
. Cependant il reste possible qu'il y ait une infinité de zéros non triviaux ailleurs que sur la droite critique. Des travaux ultérieurs de Hardy et Littlewood en 1921 et de Selberg en 1942 ont donné une estimation de la densité moyenne de zéros sur la droite critique.
Des travaux récents se sont focalisés sur le calcul explicite d'endroits où il se trouve beaucoup de zéros (dans l'espoir de trouver un contre-exemple) et de placer des bornes supérieures sur la proportion de zéros se trouvant ailleurs que sur la droite critique (dans l'espoir de la réduire à zéro).
Tests numériques
En l'absence de démonstration validée par la communauté internationale des mathématiciens, Andrew M. Odlyzko s'est spécialisé dans le calcul numérique des zéros non triviaux de la fonction Zeta. On affirme ainsi généralement que le milliard et demi de zéros calculés vérifient tous l'hypothèse de Riemann ; ce qui signifie qu'ils sont positionnés assez près, de la droite critique (au sens que l'imprécision de calcul est telle qu'ils peuvent y être exactement).
Essais de démonstration
De nombreuses preuves supposées de l'hypothèse de Riemann sont régulièrement proposées, principalement sur Internet, ainsi que quelques infirmations, souvent le fait de mathématiciens en marge du système universitaire traditionnel. Aucun de ces travaux n'a pour le moment reçu l'assentiment de la communauté mathématique.
Le site (lien) recense quelques-unes de ces supposées preuves.
Un exemple de travail récemment déposé, le 12 mars 2006, sur la base de données scientifique Arxiv est celui de Sze Kui Ng : Quantum knots and Riemann hypothesis.