Conjecture des nombres premiers jumeaux - Définition
La conjecture des nombres premiers jumeaux est un problème célèbre de la théorie des nombres qui concerne les nombres premiers.
Cette conjecture s'énonce de la façon suivante :
- Il existe une infinité de nombres premiers p tels que p + 2 soit également premier.
Une telle paire de nombres premiers est appelée paire de nombres premiers jumeaux.
Beaucoup de chercheurs en théorie des nombres se sont penchés sur cette conjecture. La majorité des mathématiciens pensent que la conjecture est vraie, en se basant sur des observations numériques et des raisonnements heuristiques utilisant la distribution probabiliste des nombres premiers.
En 1849, Alphonse de Polignac émit une conjecture plus générale d'après laquelle :
- pour tout entier naturel k, il existe une infinité de paires de nombres premiers éloignés l'un de l'autre d'une distance de 2k.
Le cas k=1 correspond à la conjecture des nombres premiers jumeaux.
Résultats partiels
En 1940, Paul Erd?s démontra l'existence d'une constante c < 1 et d'une infinité de nombres premiers p tels que :
- p' − p < cln(p) où p' désigne le nombre premier suivant immédiatement p.
Ce résultat fut plusieurs fois amélioré ; en 1986, Maier montra qu'une constante c < 0,25 pouvait être atteinte.
En 2003, Goldston et Yildirim ont démontré que, pour tout c > 0, il existe une infinité de nombres premiers p tels que p' - p < c ln(p).
En 1966, J.R. Chen a démontré l'existence d'une infinité de nombres premiers p tels que p + 2 soit le produit d'au plus deux facteurs premiers (un tel nombre, produit d'au plus deux facteurs premiers, est dit 2-presque-premier).
Son approche fut celle de la théorie du crible, qu'il utilisa pour traiter de façon similaire la conjecture des nombres premiers jumeaux et la conjecture de Goldbach.
La conjecture de Hardy-Littlewood
Il existe aussi une généralisation de la conjecture des nombres premiers jumeaux, connue sous le nom de conjecture de Hardy - Littlewood, en rapport avec la distribution des premiers jumeaux, par analogie avec le théorème des nombres premiers. Soit π2(x) le nombre de nombres premiers p ≤ x tels que p + 2 soit aussi premier.
Définissons la constante des nombres premiers jumeaux C2 de la façon suivante :
(ici le produit s'étend à l'ensemble des nombres premiers p ≥ 3).
Alors la conjecture de Hardy-Littlewood s'énonce de la façon suivante :
(ce qui signifie que le quotient des deux expressions tend vers 1 quand x tend vers l'infini).
Cette conjecture peut être justifiée (mais pas démontrée) en supposant que 1/ln(t) est la fonction de densité de la distribution des nombres premiers, une hypothèse suggérée par le théorème des nombres premiers. La justification numérique derrière la conjecture de Hardy-Littlewood est tout à fait impressionnante.
Voir aussi: nombres premiers jumeaux, constante de Brun, Conjecture de Dubner
