Coefficient binomial - Définition
Les coefficients binomiaux interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques : développement du binôme, dénombrement, développement en série…
Définition
Coefficient binomial d'entiers
Le coefficient binomial des entiers naturels n et k, noté 
ou 
et vaut :
![\frac{n (n -1)(n - 2)\cdots (n - k +1)}{k!} = \begin{cases}\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!} & \mbox{si } k \in [\![0;n]\!] \quad\mbox{(1)} \\\qquad 0 & \mbox{sinon}\end{cases}](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/2/2bedb307f01abef61af756bd866e4b1c_04c7b1c1a49a75badd18ccf3bfdd894a.png)
Ici n ! désigne la factorielle de n. On remarque qu'il existe deux notations : le coefficient binomial de n et k s'écrit
ou 
et se lit " combinaison de k parmi n " ou aussi " cnk ",- ou bien et se lit " k parmi n ".
Une importante relation, la formule de Pascal, lie les coefficients binomiaux :
Elle donne lieu au triangle de Pascal qui permet un calcul rapide des coefficients pour de petites valeurs de n :
ligne 0 1
ligne 1 1 1
ligne 2 1 2 1
ligne 3 1 3 3 1
ligne 4 1 4 6 4 1
ligne 5 1 5 10 10 5 1
ligne 6 1 6 15 20 15 6 1
ligne 7 1 7 21 35 35 21 7 1
Les coefficients ![{n \choose k}, k \in [\![0;n]\!]](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/6/6b6fa634462895b18a40e13cc32c5e49_7a012d7b1e074ebd3c094f981368d3a7.png)
figurent à la ne ligne. Le triangle est construit en plaçant des 1 aux extrémités de chaque ligne et en complétant la ligne en reportant la somme des deux nombres adjacents de la ligne supérieure. Cette méthode permet le calcul rapide des coefficients binomiaux sans division ni multiplication.
Note : pour ![k \in [\![0;n]\!]](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/b/bd87c214fbdff923c48a39b23da46abc_627b6b2f92e4a03707e19002d2856d2c.png){kind=small}
, le coefficient binomial est un nombre entier.
La preuve de cette propriété se fait par induction :
- Pour
, c'est évident. - Supposons que c'est vrai pour
. - Regardons ce qui se passe lorsque
:
- pour
, la formule de Pascal 
donne 
on y voit que 
sont des entiers étant chacun la somme de deux entiers,
alors que 
et 
.
- La propriété est donc vraie pour
, elle est par conséquent vraie pour tout 
.
Généralisation aux nombres complexes
Pour tout nombre complexe z et tout entier naturel k, on définit le coefficient binomial 
de la manière suivante :
Pour tout entier k, l'expression est un polynôme en z de degré k à coefficients rationnels. Tout polynôme p(z) de degré d peut être écrit sous la forme
Utilisation des coefficients binomiaux
Développement du binôme de Newton
Ces nombres sont les coefficients qui apparaissent en développant la puissance ne de x + y :
Par exemple, en regardant la cinquième ligne du triangle de Pascal, on obtient immédiatement que :
.
La formule du binôme généralisé permet d'étendre la formule précédente au cas où l'exposant n est négatif ou non entier, voire même complexe.
Combinatoire et statistique
Les coefficients binomiaux sont importants en combinatoire, parce qu'ils fournissent des formules utilisées dans des problèmes fréquents de dénombrement :
- Le nombre de parties à k éléments dans un ensemble à n éléments est égal à . C'est également le nombre de listes de longueur n, constituées de 1 et de 0, et ayant k = 1 et n-k = 0. Ces parties ou ces listes sont appelées des k-combinaisons sans répétition.
- Le nombre de suites de n entiers naturels dont la somme vaut k est égale à
. C'est aussi le nombre de façons de choisir k éléments d'un ensemble à n éléments si les répétitions sont permises (nombre de combinaisons avec répétition). - En probabilité et statistique, les coefficients de binôme apparaissent dans la définition de la loi binomiale .
- Ils interviennent dans la définition des polynômes de Bernstein et dans l'équation paramétrique d'une courbe de Bézier.
- d'un point de vue plus intuitif, ce nombre permet de savoir combien de tirages de k éléments parmi n différents on peut réaliser. exemple: les quatre as d'un jeu de carte sont face contre table, on veut savoir combien de possibilités de jeu il existe si l'on prend simultanément deux cartes au hasard. si l'on suit la formule il y en a six.
Pour s'en persuader, voici la liste des mains :
- as de cœur et as de carreau
- as de cœur et as de trèfle
- as de cœur et as de pique
- as de carreau et as de trèfle
- as de carreau et as de pique
- as de trèfle et as de pique
Il n'existe pas d'autres possibilités vu que l'ordre n'importe pas (" carreau - pique " est équivalent à " pique - carreau ").
Diviseurs et coefficients binomiaux
Les diviseurs premiers de possèdent la propriété suivante : Si 
est un nombre premier et 
est la plus grande puissance de qui divise , alors 
est égal au nombre d'entiers naturels 
tels que la partie fractionnaire de 
soit plus grande que la partie fractionnaire de 
. C'est le nombre de retenues dans la soustraction de n par k, lorsque ces deux nombres sont écrits en base p.
En particulier, est toujours divisible par 
(pgcd signifie plus grand commun diviseur).
Formules faisant intervenir les coefficients binomiaux
Les formules suivantes peuvent être utiles :
-
0)" /> et plus généralement 
Ces deux formules se montrent facilement à partir de la définition (1).
En remplaçant dans (4) x = y = 1, on obtient
En dérivant (4), et en remplaçant x = y = 1, il vient
En développant (
avec (4), on obtient l'identité de Vandermonde :
-
et plus généralement 
À partir du développement (9), en remplaçant m = k = n et en utilisant (5), on obtient
On a,
Ici, F(n+1) désigne le n+1 ième terme de la suite de Fibonacci. Cette formule sur les diagonales du triangle de Pascal peut être démontrée par une récurrence sur n en utilisant (2).
Et enfin,
Cela peut être démontré par récurrence sur n en utilisant (2).