Égalité de Parseval - Définition

L'égalité de Parseval (parfois appelée également Théorème de Parseval ou Identité de Rayleigh) est une formule fondamentale de la théorie des séries de Fourier. On la doit au mathématicien français Marc-Antoine Parseval. Cette formule peut être interprétée comme une généralisation du théorème de Pythagore pour les séries dans les espaces de Hilbert.

Dans de nombreuses applications physiques (courant électrique par exemple), cette formule peut s'interpréter comme suit : l'énergie totale s'obtient en sommant les contributions des différents harmoniques.

Bases hilbertiennes

Si est une base hilbertienne d'un espace de Hilbert H, ie une famille dénombrable orthonormée dont l'espace engendré est dense dans H. Pour tout h dans H, on note c_n(h): = < h | e_n > (par convention, le produit scalaire est linéaire à gauche, antilinéaire à droite). L'égalité de Parseval affirme la convergence de la série suivante et affirme l'identité :

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L'égalité de Parseval existe aussi dans le cas où le Hilbert est de dimension finie, elle s'applique par exemple en analyse harmonique sur un groupe abélien fini.

Formule pour les séries de Fourier

On suppose que f est T-périodique et de carré intégrable (c'est donc valable notamment pour f continue par morceaux). On définit les coefficients de Fourier de f :

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L'égalité de Parseval affirme la convergence de la série suivante et énonce l'identité :

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Si la fonction f est à valeurs réelles, on peut adopter les conventions suivantes :

L'égalité de Parseval devient :

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Attention : certains auteurs préfèrent une convention pour laquelle l'expression de a₀ est aussi en 2/T :

Mais la formule de Parseval devient alors :

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Applications

• Si deux fonctions de carré intégrable f et g ont le même spectre en fréquences (mêmes coefficients de Fourier), alors les coefficients de Fourier de f-g sont tous nuls (par linarité) et | | f − g | | ₂ = 0. De fait, f et g sont égales presque partout. Si de plus f et g sont continues par morceaux, f et g sont égales hormi au niveau des points de discontinuité de f.
• Lorsque l'intégrale est plus facile à calculer que la série, l'égalité de Parseval est un moyen de calculer un certain nombre de séries numériques (on peut aussi utiliser l'égalité en un point entre la fonction et sa série de Fourier, donnée par exemple par le théorème de Dirichlet).
• L'égalité de Parseval permet d'obtenir l'inégalité de Wirtinger entre les normes d'une fonction périodique et de sa dérivée, puis l'inégalité isopérimétrique classique.

Réciproque : théorème de Riesz-Fischer

On note l'espace vectoriel des suites c_n (n entier relatif), telle que la série de terme général | c_n | ² converge.

Le théorème de Riesz-Fischer permet d'énoncer qu'une telle suite c_n est la suite des coefficients de Fourier d'une fonction de carré intégrable, T périodique.

Ainsi il y a isomorphisme entre les espaces des fonctions de carré intégrable et T périodiques et . La formule de Parseval montre qu'il s'agit même d'une isométrie.