Fluide parfait
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En mécanique des fluides, un fluide est dit parfait s'il est possible de décrire son mouvement sans prendre en compte les effets de viscosité, ainsi que de conductivité thermique. Avec en sus l'hypothèse, de validité très générale, de conservation de la masse (Avant de découvrir que la masse est une des formes de l'énergie, les lois de la physique et de la chimie avaient comme principe la conservation de la masse.)[1], le fluide (Un fluide est un milieu matériel parfaitement déformable. On regroupe sous cette appellation les gaz qui sont l'exemple des fluides compressibles, et les...) est donc isentropique.

Mathématiquement cela revient à annuler les termes correspondants dans l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines...) de Navier-Stokes, on obtient ainsi l'équation d'Euler des fluides.

Ce sont le produit des coefficients de viscosité et de conductivité thermique (La conductivité thermique est une grandeur physique caractérisant le comportement des matériaux lors du transfert de chaleur par conduction. Cette constante apparaît par exemple dans la loi de Fourier...) (et pas seulement ces coefficients) avec respectivement les cisaillements de vitesse (On distingue :) et les gradients thermiques, qui doivent être négligeables.

Tous les fluides ayant une viscosité (sauf un superfluide (La superfluidité est un état quantique de la matière qui a été découvert pour la première fois en 1937 par Pyotr Leonidovitch Kapitsa, simultanément avec, semble-t-il, John F. Allen et A. Don Misener, avec l'hélium.), ce qui en pratique ne concerne guère que l'hélium (L'hélium est un gaz noble ou gaz rare, pratiquement inerte. De numéro atomique 2, il ouvre la série des gaz nobles dans le tableau périodique des...) à très basses température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie...) et l'intérieur d'une étoile (Une étoile est un objet céleste émettant de la lumière de façon autonome, semblable à une énorme boule de plasma comme le Soleil, qui est l'étoile la plus proche de la Terre.) à neutrons), le fluide parfait (En mécanique des fluides, un fluide est dit parfait s'il est possible de décrire son mouvement sans prendre en compte les effets de viscosité, ainsi que de...) ne peut être qu'une approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative...) quand on fait tendre cette viscosité vers zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans...). Cela revient à faire tendre le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de Reynolds vers l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en...). Ce type de situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il inscrit un lieu dans un cadre plus général...) est cependant très courant, par exemple en aérodynamique (L'aérodynamique est une branche de la dynamique des fluides qui porte sur la compréhension et l'analyse des écoulements d'air, ainsi qu'éventuellement sur leurs effets sur des éléments solides qu’ils...) (où en rencontre des nombres de Reynolds très grands). Dans ces conditions, les zones de cisaillement important(où la viscosité et la turbulence (La turbulence désigne l'état d'un fluide, liquide ou gaz, dans lequel la vitesse présente en tout point un caractère tourbillonnaire : tourbillons dont la taille, la localisation et l'orientation...) sont influentes) sont concentrés dans restreintes (couches limites), et la description globale de l'écoulement par un fluide parfait peut être adéquate.

En cosmologie (La cosmologie est la branche de l'astrophysique qui étudie l'Univers en tant que système physique.), les différentes formes de matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide,...) qui emplissent l'univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) peuvent être considérées, du moins aux échelles où l'univers est homogène comme des fluides parfaits. Comme un fluide parfait est isentropique, l'expansion de l'univers est parfois décrite comme étant adiabatique (En thermodynamique, une transformation est dite adiabatique (du grec adiabatos, « qui ne peut être traversé ») si elle est effectuée sans qu'aucun échange de chaleur n'intervienne entre le...), s'identifiant (En informatique, on appelle identifiants (également appelé parfois en anglais login) les informations permettant à une personne de s'identifier auprès d'un système.) sous certains aspects à la détente d'un gaz (Un gaz est un ensemble d'atomes ou de molécules très faiblement liés et quasi-indépendants. Dans l’état gazeux, la...) sans échange de chaleur (Dans le langage courant, les mots chaleur et température ont souvent un sens équivalent : Quelle chaleur !) avec l'extérieur.

Propriétés essentielles

Un fluide parfait obéit à l'équation de conservation de la masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps à la force de...), à l'équation d'Euler sans viscosité, ces deux équations formant (Dans l'intonation, les changements de fréquence fondamentale sont perçus comme des variations de hauteur : plus la fréquence est élevée, plus...) les équations de base des fluides non dissipatifs, ainsi qu'à une version du premier principe de la thermodynamique (On peut définir la thermodynamique de deux façons simples : la science de la chaleur et des machines thermiques ou la science des grands systèmes en équilibre. La première définition est aussi la première dans l'histoire. La seconde...), ce deux aspects (mécanique des fluides et thermodynamique) étant intimement liés.

Les deux premières équations s'écrivent, en notant ρ la masse volumique (Pour toute substance homogène, le rapport de la masse m correspondant à un volume V de cette substance est indépendante de la quantité choisie : c'est une caractéristique du...) du fluide, P sa pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.) et v sa vitesse :

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho {\mathbf{v}}) = 0 ,
\frac{\partial {\mathbf{v}}}{\partial t} + ({\mathbf{v}} \cdot \nabla) {\mathbf{v}} = - \frac{\nabla P}{\rho} + {\mathbf{f}} ,

{\mathbf{f}} représente la densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de référence est l'eau pure à...) de forces s'exerçant sur le fluide. Par exemple, si l'on considère la pesanteur (Le champ de pesanteur (ou plus couramment pesanteur) est un champ attractif auquel sont soumis tous les corps matériels au voisinage de la Terre : on observe ainsi qu'en un lieu donné...) terrestre, on a

{\mathbf{f}} = {\mathbf{g}},

{\mathbf{g}} représentant l'accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique, l'accélération est une grandeur vectorielle qui indique la...) de la pesanteur.

Aspects thermodynamiques

D'ordinaire, la densité d'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en cabinet pendant une durée variable selon...) d'un système physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la...) (dans le présent contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui l'entourent. Le concept de contexte issu...), une petite région contenant un fluide donné) dépend de la densité de celui-ci et de son entropie (En thermodynamique, l'entropie est une fonction d'état introduite au milieu du XIXe siècle par Rudolf Clausius dans le cadre du second principe, d'après les travaux de Carnot[1]....). En effet, le premier principe de la thermodynamique stipule (En botanique, les stipules sont des pièces foliaires, au nombre de deux, en forme de feuilles réduites située de part et d'autre du pétiole, à sa base, au point d'insertion sur la tige.) que l'énergie interne U d'un système varie selon

dU = − PdV + TdS,

P représente sa pression, V le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.), T la température et S l'entropie. Dans le cas d'un fluide parfait, on a par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) dS = 0, d'où

dU = − PdV,

ce qui équivaut à dire que l'élément de fluide possède une relation univoque entre sa densité d'énergie et sa pression, ne dépendant pas d'un paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) extérieur. Si l'on passe à la densité d'énergie interne définie par

\epsilon = \frac{U}{V},

on obtient alors

d(εV) = − PdV,

d'où

{\mathrm{d}} \epsilon = - (P + \epsilon) \frac{{\mathrm{d}} V}{V}.

Formalisme mathématique

Un fluide parfait peut être décrit à l'aide d'un tenseur énergie impulsion T. À partir duquel on peut retrouver les équations (conservation de la masse et Euler, plus premier principe de la thermodynamique) auxquelles obéit le fluide parfait. Celui-ci s'écrit

{\mathbf{T}} = \left(P + \rho\right) \frac{{\mathbf{u}} \otimes {\mathbf{u}}}{c^2} - P {\mathbf{g}},

ou, en terme de composantes,

T^{\alpha \beta} = \left(P + \rho\right) \frac{u^\alpha u^\beta}{c^2} - P g^{\alpha \beta},

ρ représente la densité d'énergie du fluide, somme de sa densité d'énergie interne ε et de sa densité d'énergie de masse (En 1905, Albert Einstein postule que la masse est une des formes que peut prendre l'énergie. Tout système au repos, de masse m, possède ainsi une énergie de masse E donnée par la célèbre relation d'Einstein :) μc2, μ étant la masse volumique de l'élément de fluide et c la vitesse de la lumière (La vitesse de la lumière dans le vide, notée c (pour « célérité », la lumière se manifestant macroscopiquement comme un...), u la quadrivitesse du fluide (c'est-à-dire la vitesse d'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) de cet élément), et g le tenseur métrique. La relativité restreinte (On nomme relativité restreinte une première version de la théorie de la relativité, émise en 1905 par Albert Einstein, qui ne considérait pas la question des accélérations d'un référentiel,...) et la relativité générale (La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale qui étend le principe de relativité aux référentiels non-inertiels, est une théorie relativiste de la...) stipulent que le tenseur énergie impulsion d'un fluide est " conservé ", c'est-à-dire que sa divergence est nulle. Cette équation s'écrit, en terme de composantes,

D_\alpha \left(\left(P + \rho\right) \frac{u^\alpha u^\beta}{c^2} - P g^{\alpha \beta}\right) = 0,

D représentant la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une...) ordinaire (en relativité restreinte) ou la dérivée covariante (en relativité générale). Le calcul donne alors

\frac{u^\alpha u^\beta}{c^2} D_\alpha \left(P + \rho\right) + \left(P + \rho\right) \frac{u^\alpha}{c^2} D_\alpha u^\beta + \left(P + \rho\right) \frac{u^\beta}{c^2} D_\alpha u^\alpha - D^\beta P = 0.

C'est cette équation qui permet de retrouver les trois équations précitées.


Obtention

À un niveau microscopique, le tenseur énergie impulsion d'un fluide peut toujours être déterminé par un processus rigoureux, en partant d'une quantité appelée lagrangien (Le lagrangien d'un système dynamique, dont le nom vient de Joseph Louis Lagrange, est une fonction des variables dynamiques qui décrit de manière concise les équations du mouvement du système. Ces...). Par exemple, le tenseur énergie impulsion d'une particule ponctuelle se déduit immédiatement du lagrangien la décrivant. En mécanique des fluides (La mécanique des fluides est la branche de la physique qui étudie les écoulements de fluides c'est-à-dire des liquides et des gaz lorsque ceux-ci subissent des forces ou des contraintes. Elle est...), on considère que la distribution des particules composant le fluide peut, au-delà d'une certaine échelle, être considérée comme un milieu continu.

Par contre, à un niveau macroscopique, rien ne permet d'affirmer avec certitude que le tenseur énergie impulsion puisse être dérivé d'un lagrangien macroscopique. D'ordinaire, le tenseur énergie impulsion d'un fluide est déterminé dans un premier temps par l'écriture du tenseur énergie impulsion d'une particule, puis en supposant une certaine distribution de particules dans une région de l'espace (une fonction de distribution), puis en effectuant la moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient...) des tenseurs énergie impulsion individuels sur un volume petit devant les dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) du problème, mais grand devant la séparation (D'une manière générale, le mot séparation désigne une action consistant à séparer quelque chose ou son résultat. Plus particulièrement il est...) inter particules. Rien ne permet d'affirmer qu'il est possible de trouver un tenseur énergie impulsion à partir d'un lagrangien qui serait déjà " moyenné " sur un ensemble de particules. Le fluide parfait est à ce titre un cas particulier, car il est possible de le déterminer de cette façon, quoique la démonstration en soit non triviale[2].

Généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être considérés de façon...)

Au-delà de l'approximation de fluide parfait, on parle de fluide non parfait. Celui se se caractérise par le fait qu'il possède une certaine viscosité, sciendée en une viscosité cinématique (En physique, la cinématique est la discipline de la mécanique qui étudie le mouvement des corps, en faisant abstraction des causes du mouvement...) et une viscosité dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :). Cette viscosité est à l'origine d'échanges de chaleur entre différentes portions du fluide. La prise en compte de ces différents effets correspond à la définition d'un fluide non parfait. Elle s'accompagne de modifications de l'équation d'Euler, dans laquelle deux termes proportionnels aux viscosités sont ajoutés, ainsi que la prise en compte explicite de la thermodynamique associée au fluide, par le fait que l'entropie d'un élément de fluide varie avec le temps.

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