Rapport anharmonique - Définition et Explications

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Le rapport anharmonique ou birapport est un outil puissant dans la géométrie, en particulier la géométrie projective. Le nom de rapport anharmonique a été créé par Michel Chasles mais la notion lui est bien antérieure.

Rapport anharmonique (Le rapport anharmonique ou birapport est un outil puissant dans la géométrie, en particulier la géométrie projective. Le nom de rapport anharmonique a été...) de quatre points

Si ABCD sont quatre points distincts d'une droite (d) on appelle birapport ou rapport anharmonique de (A,B) et (C,D) le rapport des mesures algébriques suivant:

\frac{\frac{\overline{CA}}{\overline{CB}}}{\frac{\overline{DA}}{\overline{DB}}}

Les divisions sont supposées régulières. Le birapport de C,D par rapport à A, B est \frac{2/1}{3/2}=\frac{4}{3}

Les divisions sont supposées régulières. Le birapport de C, D par rapport à A, B est -1/3

Propriétés

Ce rapport est indépendant du repère choisi sur la droite (d) et de l'unité de longueur (Il existe de nombreuses unités de longueur ne faisant pas partie du système international. Certaines sont utilisées dans des domaines scientifiques pour simplifier les expressions, d'autres sont utilisées pour des raisons culturelles.) choisie.

Il est facile de voir que s'il on permute, en même temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) A/B et C/D , on ne modifie pas le rapport anharmonique.

Ce rapport reste invariant pour de nombreuses transformations géométriques : isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie est donc un cas particulier de similitude.), similitudes, transformation affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :). La dualité par pôles et polaires réciproques conserve aussi le rapport anharmonique de quatre éléments (Dans le cadre de la philosophie naturelle, la théorie des quatre Éléments est une façon traditionnelle de décrire et d'analyser le monde.) d'une structure unidimensionnelle.

Il reste aussi invariant pour des homographies comme la projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) centrale...

Si C est le barycentre (Le barycentre est un point mathématique (géométrie analytique) construit à partir d'un ensemble d'autres. Il correspond) de (A,a) et (B,b) et si D est celui de (A,a') et (B,b') alors le rapport anharmonique est

\frac{ab'}{a'b}

Ce qui explique d'ailleurs qu'une transformation conservant les barycentres conserve aussi les rapports anharmoniques

Rapport anharmonique de quatre droites concourantes

Un résultat important en géométrie projective (La géométrie projective est le domaine des mathématiques qui modélise les notions intuitives de perspective et d'horizon. Elle étudie les propriétés des figures inchangées par projection.) stipule (En botanique, les stipules sont des pièces foliaires, au nombre de deux, en forme de feuilles réduites située de part et d'autre du pétiole, à sa base, au point d'insertion sur la tige.) qu'une projection centrale conserve le rapport anharmonique . Il permet de dire dans la figure ci-jointe que les rapports anharmoniques de (A,B;C,D) et (A',B';C'D') sont égaux quelles que soient les droites qui portent la série des quatre points. (Une démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant sur un...) est réalisable en utilisant plusieurs fois le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à...) de Thalès).

Puisque ce rapport est indépendant de la sécante aux quatre droites, ce rapport ne dépend que de la position relative des quatre droites. Il est alors appelé rapport anharmonique des droites

(dA,dB;dC;dD)

Voir Faisceau harmonique (Dans plusieurs domaines, une harmonique est un élément constitutif d'un phénomène périodique ou vibratoire (par exemple en électricité : les « courants...)

Division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la...) harmonique

Lorsque le rapport anharmonique est égal à -1, on dit que les quatre points sont en division harmonique. Le point (Graphie) D est alors appelé le conjugué (En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe formé de la même partie réelle que z mais de partie imaginaire opposée.) de C par rapport à A et B. On peut prouver que C est aussi le conjugué de D par rapport à ces même points.

Exemple 1: la suite harmonique

Le point d'abscisse 1/3 est le conjugué du point d'abscisse 1 par rapport aux points d'abscisse 0 et 1/2.

le point d'abscisse 1/4 est le conjugué de celui d'abscisse 1/2 par rapport aux points d'abscisse 0 et 1/3.

De manière générale, le point d'abscisse 1/(n+2) est le conjugué du point d'abscisse 1/n par rapport aux points d'abscisse 1/(n+1) et 0

On définit ainsi la suite de nombres 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... appelée suite harmonique que l'on retrouve en musique pour définir la gamme harmonique

Exemple 2 : moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de...) harmonique

Le conjugué de 0 par rapport à x et y est la moyenne harmonique de x et de y :

\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}

Exemple 3 : barycentre

Si C est le barycentre de (A,a) et (B,b) alors son conjugué par rapport à A et B est le barycentre de (A,-a) et (B,b)

Exemple 4 : bissectrices

Dans un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de...) ABC, les bissectrices intérieure et extérieure issues de C coupent la droite (AB) en deux point D et E tels que A, B, D, E forment une divion harmonique

Exemple 5 : théorème d'Apollonius

L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) des points M du plan tels que le rapport MA/MB est constant est un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant...) de diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la...) [CD] tel que A, B, C, D forment une division harmonique.

Exemple 6 : Polaire d'un point par rapport à deux droites

Rapport anharmonique, longueurs, aires et angles

Outre sa signification en termes de birapport de longueurs orientées, le rapport anharmonique concerne aussi les angles et les aires orientés. En effet l'aire (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) des divers triangles tels que OAB peut s'exprimer de deux manières

\frac{1}{2}*OH*AB  = \frac{1}{2}*OA*AB*sin( \widehat{AOB} )- d'où, après simplifications de OH² ou de OA*OB*OC*OD l'égalité des 3 birapports: de longueurs, d'aires et de sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de deux longueurs des...).

Rapport anharmonique sur un cercle

La propriété du birapport des sinus a une conséquence pour 6 points coycliques ABCDMP. Les angles \widehat{AMB} et \widehat{APB} étant égaux ou supplémentaires, leurs sinus sont égaux. Le birapport des droites M(ABCD) est égal à celui des droites P(ABCD). En conséquence on peut parler du birapport de 4 points sur un cercle. On démontre, sans les sinus, en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces...) projective que cette propriété est vraie pour une conique (Les coniques constituent une famille très utilisée de courbes planes algébriques, qui peuvent être définies de plusieurs manières différentes, toutes équivalentes entre elles.) quelconque (étant donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) une conique, si ABCDM sont fixes et si P parcourt la conique, alors le birapport des droites P(ABCD) est constant).

Image:Birapportcercle.PNG

On peut en déduire que l'inversion de 4 points alignés, EFGH, de centre M, conserve leur birapport sur leurs images cocycliques ABCD.

Division harmonique, théorèmes de Ceva (Le CEVA est un projet de liaison entre les réseaux ferroviaires du canton de Genève (Suisse) et de la Haute-Savoie (France). CEVA est...) et de Ménélaüs

Le Théorème de Ceva et le Théorème de Ménélaüs sont reliés par un rapport harmonique. Image:cevamenelaus.PNG

Les deux théorèmes impliquent deux relations :

\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}\frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}} = 1 et \frac{\overline{D'B}}{\overline{D'C}}\cdot\frac{\overline{EC}}{\overline{EA}}\cdot\frac{\overline{FA}}{\overline{FB}} = 1.

qui, après simplification, mènent à : \frac{\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}}{\frac{  \overline{D'B} }{\overline{D'C}}}=-1, ce qui exprime une division harmonique. En passant cette propriété donne une construction du conjugué de D par rapport à BC, en prenant un point arbitraire A hors de (BC) et un point arbitraire M sur (AD).

Voir quadrilatère (En géométrie plane, un quadrilatère est un polygone à 4 côtés.) complet

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