Plan complexe - Définition

En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.

On associe en général le plan complexe à un repère orthonormé direct. Dans un tel repère, tout point M est l'image d'un unique nombre complexe z qui est appelé affixe de cet unique point. On note M(z).

Pour tout nombre complexe z tel que z = a + ib (où a et b sont des réels), on a la relation . On peut ainsi dire que la partie réelle de z est l'abscisse de M et que la partie imaginaire de z en est son ordonnée.

D'après cette égalité, tous les points de l'axe sont tels que la partie imaginaire de leur affixe est nulle : leur affixe est donc un nombre réel. En conséquence, on appelle l'axe axe des réels.

De la même façon, tous les points de l'axe sont tels que le partie réelle de leur affixe est nulle : leur affixe est donc un nombre imaginaire pur. En conséquence, on appelle l'axe axe des imaginaires.

(a,b) sont les coordonnées cartésiennes de z = a+ib dans le plan complexe. On peut aussi écrire z avec des coordonnées polaires (r,θ), ce qui correspond à l'écriture exponentielle z = r·exp(iθ). Dans ce cas, r est le module du nombre et θ est un de ses arguments (modulo 2π).

Représentation graphique de z dans le plan complexe, coordonnées cartésiennes et polaire

Transformations du plan

La somme de deux vecteurs correspond à la somme de leurs affixes. Ainsi, la translation d'un vecteur donné correspond à l'addition de son affixe.

Une rotation d'un angle θ correspond à la multiplication de l'affixe par le nombre e^{i θ}, qui est un nombre complexe de module 1.

Une homothétie de rapport k (réel) correspond à la multiplication de l'affixe par k.