Un pavage (ou dallage) est une partition d'un espace (généralement un espace euclidien comme le plan ou l'espace tridimensionnel) par un ensemble fini d'éléments appelé tuiles (plus précisément, ce sont des compacts d'intérieur non vide). Généralement, on considère des pavages par translations, c'est-à-dire que deux mêmes tuiles du pavage sont toujours déductibles l'une de l'autre par une translation (à l'exclusion des rotations ou symétries). Il existe aussi des pavages d'espaces non euclidien, les plus célèbres étant sans doute les nombreux pavages de M.C. Escher (pavages d'espaces hyperboliques).

Pavages périodiques

Les pavages périodiques du plan ou de l'espace sont connus depuis l'antiquité et ont souvent été utilisés comme motifs décoratifs en architecture. En cristallographie, ces pavages modélisent les arrangements périodiques d'atomes (cristaux). En 1891, le cristallographe et mathématicien russe Fedorov (Université de Saint-Petersbourg) a montré qu'il existait seulement 17 types de pavages périodiques du plan (deux pavages sont de même type s'ils sont invariant par le même groupe d'isométrie, c'est-à-dire par rotations, symétries axiales et translations). Tous ces types, sauf deux, peuvent être réalisés par des pavages dont les tuiles sont toutes des polygones réguliers. L'Alhambra de Grenade est réputé contenir des mosaïques illustrant tous ces types de pavages.

Deux pavages périodiques du plan avec la même symétrie d'ordre 6 (hexagonale).

Pavages apériodiques

On a longtemps pensé que les seuls pavages par translations du plan étaient nécessairement périodiques. Notamment, Hao Wang a conjecturé en 1961 que c'était le cas, et en a déduit qu'on pouvait concevoir un programme informatique qui déciderait si un jeu de tuiles donné permettait de paver ou non le plan. Cependant, en 1964, Robert berger (un élève de Wang) a trouvé un ensemble de 20426 tuiles ne pouvant paver qu'apériodiquement le plan. La conjecture est donc fausse : savoir si un jeu de tuiles peut paver ou non le plan est indécidable.

Des jeux toujours plus petits de tuiles ne pavant qu'apériodiquement ont depuis été trouvés :

• en 1976, Raphael Robinson simplifie le jeu de tuiles de Robert Berger en un jeu de 24 tuiles (6 à rotation près);
• en 1974, Roger Penrose, suite à une commande pour créer un puzzle, trouve un jeu de 20 tuiles (2 à rotation près);
• en 1996, Karel Culik et Jarkko Kari ont trouvé (par une méthode complètement différente) un jeu de 13 tuiles.

On peut noter qu'en 1994 John Horton Conway et Charles Radin ont trouvé un jeu comportant une infinité de tuiles mais qui, à rotation près, se réduit à une unique tuile : un triangle rectangle de côtés 1, 2 et . Le pavage obtenu est connu sous le nom de Pinwheel.

Pavages quasipériodiques

Parmi les pavages apériodiques, certains le sont moins que d'autres...en d'autres termes, on peut quantifier le degré d'apériodicité. Dans cette voie, on peut citer par exemple les notions de récurrence et de récurrence uniforme (ou quasipériodicité). Un pavage est dit récurrent si, quand un motif (ensemble fini de tuiles) apparait une fois, il apparait dans n'importe quelle zone suffisamment grande. Si, de plus, on peut fixer la taille de cette zone en fonction de la taille du motif, alors le pavage est dit uniformément récurrent (ou quasipériodique).

Ainsi, un pavage uniformément récurrent du plan est tel que si on considère n'importe quel un motif apparaissant dans un cercle de rayon r tracé sur le pavage, alors il existe un nombre R tel qu'on puisse être sûr que ce motif réapparaisse dans n'importe quel cercle de rayon R tracé sur la pavage.

En particulier, les pavages périodiques sont uniformément récurrents (a fortiori récurrents). C'est aussi le cas du pavage de Penrose. En fait, on peut montrer que si un jeu de tuile pave le plan, alors il peut aussi le paver de manière uniformément récurrente (la preuve repose sur un argument diagonal).