Parallélogramme
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parallélogramme

Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont parallèles deux à deux ; c'est un trapèze particulier.

Propriétés

  • Les diagonales d'un parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont parallèles deux à deux ; c'est un trapèze particulier.) se coupent en leur milieu.
  • Le point (Graphie) d'intersection de ses diagonales est son centre de symétrie et de gravité (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.).
  • Ses côtés opposés ont la même longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...).
  • Ses angles opposés ont la même mesure.
  • Ses angles consécutifs sont complémentaires (additionnés, ils font 180°).
  • Les aires des triangles qui le compose sont egales
  • Ses côtés opposés sont paralleles.

Reconnaître un parallélogramme

Les propriétés précédentes peuvent aussi servir à reconnaître un parallélogramme dans un quadrilatère (En géométrie plane, un quadrilatère est un polygone à 4 côtés.) donné, en voici une autre :

  • Il est non croisé et deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur (on reconnaît ici la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) vectorielle).
  • Les losanges, les rectangles et les carrés sont des parallélogrammes particuliers.

Aire (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) d'un parallélogramme

Soient b\, la longueur d'un côté du parallélogramme et h\, la longueur de la hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) associée.L'aire A\, du parallélogramme vaut :
A=b \times h\,

Aspect abstrait

La notion de parallélogramme permet de définir la relation d'équipollence de deux bipoints, ce qui amène à la notion de vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un...) en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...) euclidienne :

  • on appelle bipoint tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) couple de points (l'ordre des points a une importance) ;
  • deux bipoints (A,B) et (C,D) sont dits équipollents si ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati ;
on peut dire de manière équivalente que (A,B) et (C,D) sont équipollents si [AD] et [BC] ont le même milieu (ce qui règle le problème des parallélogrammes aplatis) ;
dans ce cas, les segments [AB] et [CD] sont parallèles et de même longueur, mais pas seulement : ils ont aussi " le même sens ".
La relation d'équipollence est une relation d'équivalence.
  • on appelle vecteur \vec{AB} la classe d'équivalence des bipoints équipollents à (A,B) ;
le vecteur \vec{AB} est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut...) des bipoints satisfaisant la relation d'équipollence avec (A,B).

Une variante amusante

L'antiparallélogramme est un quadrilatère croisé qui possède 2 petits côtés et 2 grands côtés dans lequel les 2 grands côtés sont croisés. Il possède une propriété intéressante.

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