Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à chaque point d’un espace un point de ce même espace. On dit aussi que c'est une application mathématique de l'espace sur lui-même.
Le terme, dû au mathématicien français Michel Chasles, est composé des deux éléments d'origine grecque, le préfixe homo- pour " semblable " et thesis pour " position ". Il traduit la correspondance entre deux figures de même forme et de même orientation. Ainsi, deux poupées russes regardant dans la même direction peuvent être vues comme homothétiques.
Dans la suite nous traitons des homothéties du plan, mais les propriétés énoncées restent vraies dans l'espace.
Soient O un point du plan P et k un réel non nul, on appelle homothétie de centre O et de rapport k la transformation qui à tout point M associe le point M' défini par :
Si par l'homothétie h de centre O et de rapport k, A a pour image A ' et B a pour image B ' alors :
Elle permet de construire l'image de tout point connaissant le centre O de l'homothétie et l'image A' d'un point A.
L'image du point B est le point d'intersection de la droite (OB) et de la droite parallèle à (AB) passant par A'.
Cette égalité caractérise les homothéties : soit f une transformation. On appelle M' l'image de M. S'il existe un réel k, différent de 1, tel que, pour tout point A et tout point B, , alors f est une homothétie, son rapport est k et son centre est le barycentre des points (A, k) et (A', -1)
Démonstratin de la propriété 1 : Par l'homothétie h de centre O et de rapport k, h(A)=A', h(B)=B' donc et or donc
Démonstration de la propriété caractéristique : si f vérifie , alors f possède un point invariant O qui vérifie
Cette même propriété appliquée alors aux point O et M et à leurs images O et M' donne
qui est la définition d'un homothétie de cetnre O et de rapport k
Si ABCD est un trapèze tel que avec k différent de 1, il existe deux homothéties transformant [AB] en [CD]. Une de centre O' intersection des diagonales et de rapport -k et l'autre, de centre O intersection des droites (AD) et (BC) et de rapport k.
La composée de deux homothéties de centre O et de rapports k et k' est une homothétie de centre O et de rapport kk'. L'ensemble des homothéties de centre O est donc un groupe commutatif isomorphe à R*.
La composée hO' o hO de deux homothéties de centres différents O et O' et de rapports k et k' est
La composée t o h d'une homothétie de centre O et de rapport k et d'une translation de vecteur est aussi une homothétie de rapport k et de centre O" barycentre des points (O, k) et (O', -1) où O' est le point tel que . Enfin la composée h o t est une homothétie de rapport k et de centre O" barycentre de (O' , k) et (O , -1) où O' est le point tel que .
Ces propriétés font de l'ensemble des homothéties-translations est un groupe non commutatif.
Dans un espace vectoriel V sur un corps K, on appelle homothétie de rapport k (k non nul) , l'application qui, à tout vecteur , associe le vecteur k.
C'est un cas particulier d'application linéaire. Dans une homothétie, il n'existe qu'une seule valeur propre : k et tous les vecteurs sont des vecteurs propres. La matrice d'une homothétie dans un espace vectoriel de dimension n est k*In où In est la matrice Identité.