Géométrie différentielle
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En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés différentielles, ensembles ayant une régularité suffisante pour envisager la notion de dérivation, et les fonctions définies sur ces variétés.

La géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les...) trouve sa principale application physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance...) dans la théorie de la relativité (Cet article traite de la théorie de la relativité à travers les âges. En physique, la notion de relativité date de Galilée. Les travaux d'Einstein en ont fait un important champ d'étude, tant théorique qu'expérimental.) où elle permet une modélisation d'une courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins...) de l'espace-temps (La notion d'espace-temps a été introduite au début des années 1900 et reprise notamment par Minkowski en 1908 dans un exposé mathématique sur la géométrie de l'espace et du temps telle...). On peut également citer d'autres applications en physique classique. En mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de...) des milieux continus par exemple, elle est utile à la description des déformations des corps élastiques, en particulier des poutres ou des coques.

Points de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) intrinsèque et extrinsèque

Jusqu'au milieu du XIXe siècle, la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces...) différentielle avait essentiellement un point (Graphie) de vue extrinsèque au sujet des variétés rencontrées, ce qui signifie que celles-ci étaient définies comme un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du...) d'un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) (le plus souvent \R^n \,\!). Par exemple, on étudiait les propriétés d'une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments,...) dans le plan, ou d'une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa...) dans l'espace de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre...) trois (géométrie différentielle classique).

Les travaux de Bernhard Riemann ont introduit une vision intrinsèque des variétés, sans cesse développées depuis ; elles sont alors considérées comme un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est...) " brut ", et non pas comme partie d'un autre. Il n'y a plus de sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) à vouloir " sortir " de la variété puisqu'elle existe indépendamment de toute notion d'espace ambiant, et pourtant on pourra donner un sens aux notions de tangence, de courbure, etc.

Le point de vue intrinsèque a l'avantage d'être bien plus flexible que le point de vue extrinsèque, ne serait-ce que parce qu'il ne force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage (cf. les articles...) pas à trouver un espace pouvant " contenir " la variété considérée, ce qui peut parfois se révéler difficile. Par exemple la bouteille de Klein (En mathématiques, la bouteille de Klein est une surface fermée, sans bord et non orientable, c'est-à-dire une surface pour laquelle on ne peut pas définir un « intérieur » et un...) est une surface (c'est-à-dire une variété de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa...) 2) mais pour la plonger dans un espace ambiant il faut choisir \R^4 \,\!. De même, il n'est pas évident de trouver un espace " contenant " l'espace-temps courbé. Cependant, la flexibilité gagnée se traduit en une abstraction ( En philosophie, l'abstraction désigne à la fois une opération qui consiste a isoler par la pensée une ou plusieurs qualités d'un objet concret pour en former...) et une difficulté accrues pour définir les notions géométriques comme la courbure ou topologiques comme la connexité.

Explication mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...)

La géométrie différentielle couvre l'analyse et l'étude de divers concepts :

  • l'étude des variétés
  • les fibrés tangents et cotangents
  • les formes différentielles
  • les dérivées extérieures
  • les intégrales des p-formes sur des p-variétés
  • le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à...) de Stokes
  • les dérivées de Lie
  • la courbure

Tous sont en rapport avec l'analyse à plusieurs variables, mais pour les applications géométriques, il est nécessaire de raisonner sans privilégier un système de coordonnées. Ces concepts distincts de la géométrie différentielle peuvent être considérés comme ceux qui englobent la nature géométrique de la dérivée seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde...), c'est-à-dire les caractéristiques de la courbure.

Une variété différentielle dans un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la connexité. Ces concepts apparaissent dans...) est une collection d'homéomorphismes d'ensembles ouverts vers une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point appelé centre....) unitaire Rn tels que les ensembles ouverts couvrent l'espace et que si f, g sont des homéomorphismes alors la fonction f-1 o g d'un sous-ensemble ouvert de la sphère unitaire vers la sphère ouverte unitaire est infiniment différentiable. On dit que la fonction d'une variété vers R' est infiniment différentiable si la composition de chaque homéomorphisme (En topologie, un homéomorphisme est un isomorphisme entre deux espaces topologiques : c'est une bijection continue de l'un dans l'autre, dont la réciproque est continue. Dans ce cas, les deux...) résulte en une fonction infiniment différentiable à partir de la sphère ouverte unitaire à R.

En chaque point de la variété se trouve un espace tangent à ce point constitué de toutes les vitesses (direction et intensité) possibles et avec lesquelles il est possible de s'écarter de ce point. Pour une variété à n dimensions, l'espace tangent en tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) point est un espace vectoriel à n dimensions ou, en d'autres termes, une copie de Rn. L'espace tangent a plusieurs définitions. Une définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) possible est l'espace vectoriel des chemins qui passent en ce point, quotienté par la relation d'équivalence qui identifie deux chemins ayant le même " vecteur vitesse " en ce point (c'est-à-dire la même dérivée si on les compose avec une carte quelconque).

Un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) de vecteurs est une fonction d'une variété vers l'union disjointe de ses espaces tangents (l'union en elle-même est une variété connu comme le fibré (En mathématiques, un espace fibré est la donnée d'un espace topologique appelé espace total muni d'une projection continue sur un autre espace appelé base, telle que la préimage de chaque point...) tangent) de telle manière que, en chaque point, la valeur obtenue est un élément de l'espace tangent en ce point. Une telle relation est appelée section d'un fibré. Un champ vectoriel est différentiable si pour chaque fonction différentiable, l'application du champ en chaque point produit une fonction différentiable. Les champs vectoriels peuvent être perçus comme des équations différentielles indépendantes du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.). Une fonction différentiable des réels vers la variété est une courbe sur la variété. Cela définit une fonction des réels vers les espaces tangents : la vitesse (On distingue :) de la courbe sur chacun des points qui la constitue. Une courbe est une solution du champ vectoriel si, pour chaque point, la vitesse de la courbe est égale au champ vectoriel en ce point.

Une k-forme linéaire alternée est un élément de la ke puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) d'un tenseur antisymétrique du dual E* d'un espace vectoriel E. Une k-forme différentielle d'une variété est un choix, en chaque point de la variété, d'une telle k-forme alternée où E est l'espace tangent en ce point. Elle sera différentiable si le résultat, après une opération sur des k-champs vectorielles différentiables, est une fonction différentiable de la variété vers les réels.

Branches de la géométrie différentielle

Géométrie riemannienne

La géométrie riemannienne est l'étude des métriques riemaniennes : une telle métrique est une famille de produits euclidiens sur une variété différentielle. Cette structure supplémentaire fait apparaître la variété comme un espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel...) selon un point de vue infinitésimal. Elle permet de généraliser les notions de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de...) de la courbe et de mesure de Lebesgue (La mesure de Lebesgue doit son nom au mathématicien français Henri Léon Lebesgue. Elle est d'une importance capitale en théorie de l'intégration.), l'analyse du gradient d'une fonction, de la divergence, etc. Son fort développement durant la seconde moitié du XXe siècle s'explique par l'intérêt que lui ont porté aussi bien les géomètres que les analystes ou les physiciens. De plus, les métriques riemanniennes peuvent être arbitrairement introduites pour mener à bien les calculs sur les variétés.

Géométrie de Finsler

La géométrie de Finsler est une extension de la géométrie riemannienne, qui prend tout son sens en dimension infinie (par exemple pour l'étude des groupes de difféomorphismes sur une variété). Le principal objet d'étude est la variété de Finsler, id est une variété différentielle munie d'une métrique de Finsler, une norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une règle à suivre....) de Banach définie sur chaque espace tangent.

Géométrie symplectique

La géométrie symplectique est l'étude des formes symplectiques, i.e. des " formes différentielles fermées non dégénérées ". Ces objets ont été introduits dans l'optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement électromagnétique et de ses relations avec la vision.) d'une formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés...) mathématique de la mécanique classique. Si les motivations physiques remontent à Lagrange et Hamilton, la géométrie symplectique s'est formée comme domaine d'études à part entière depuis les années 1960 et est aujourd'hui devenu un domaine actif de recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la recherche scientifique...). Contrairement à la géométrie riemannienne, des questions d'existence des structures se posent. Les principaux moteurs (Un moteur est un dispositif transformant une énergie non-mécanique (éolienne, chimique, électrique, thermique par exemple) en une énergie mécanique ou travail.[réf. nécessaire]) de recherche sont la conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.) d'Arnold, la conjecture de Weinstein et la quantification.

Géométrie de contact

La géométrie de contact est la sœur de la géométrie symplectique en dimension impaire. Il s'agit essentiellement de l'étude des formes de contact, c'est-à-dire des 1-formes différentielles α telles que \alpha\wedge (d\alpha)^n soit une forme volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) (ne s'annule en aucun point). Même si a priori l'objet d'étude semble différent, " sœur " est une dénomination doublement justifiée. D'une part car les géométries symplectique et de contact présentent des résultats "élémentaires" analogues. D'autre part, car des hypersurfaces présentant des structures de contact sont omniprésentes en géométrie symplectique.

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