Calcul vectoriel en géométrie euclidienne - Définition
Cet article traite des opérations portant sur les vecteurs en géométrie euclidienne.
Opérations sur les vecteurs dans le plan et l'espace
Les vecteurs dont il sera question dans cet article sont ceux de l'espace
Comme souligné ci-dessus, certaines constructions géométriques sont spécifiques aux vecteurs. Ces constructions géométriques ayant des propriétés communes avec les opérations sur les nombres (addition, multiplication), on adopte une notation similaire.
Produit d'un vecteur par un scalaire
Le terme " scalaire " désigne ici un nombre réel. Le produit d'un vecteur
- de même direction et sens que
-
- de même direction mais de sens contraire que
-
- il s'agit d'un vecteur nul si a = 0
Il s'agit d'une dilatation (si |a| >1) ou d'une contraction (si |a| <1), bref d'une homothétie de rapport a.
produit d'un vecteur
On a
-
1 est donc l'élément scalaire neutre, et 0 l'élément scalaire absorbant pour cette opération. Le produit d'un vecteur par un scalaire est distributif sur l'addition des scalaires
mais il n'est pas commutatif : la notation
Notez que deux vecteurs sont colinéaires (parallèles) si et seulement s’ils sont proportionnels, c'est-à-dire s'il existe un nombre a tel que
Somme de deux vecteurs
La somme de deux vecteurs
- on amène l'origine du deuxième vecteur à l'extrémité du premier, la somme est le vecteur qui joint l'origine du premier vecteur à l'extrémité de second.
Il s'agit du troisième côté d'un triangle formé par les deux premiers vecteurs.
On peut aussi le construire d'une autre manière :
- on amène les origines des deux vecteurs en un même point, on trace un parallélogramme dont les vecteurs sont deux côtés, la somme est alors la diagonale du parallélogramme partant de l'origine.
Dans les deux cas, on place les vecteurs bout-à-bout ; mais si l'origine d'un vecteur correspond à l'extrémité de l'autre, on utilise la méthode du triangle, si les origines sont confondues, on utilise la méthode du parallélogramme.
Somme de deux vecteurs
Si l'on a trois points A, B et C, alors on a la " relation de Chasles " :
on déduit de cela que
ce qui permet de définir l'opposé d'un vecteur, et donc la soustraction : en posant la notation
on a
L'opposé d'un vecteur est le vecteur de même direction, de même longueur, mais de sens opposé.
On a :
Le produit d'un scalaire par un vecteur est distributif sur l'addition des vecteurs :
-
Produit scalaire de deux vecteurs
Définition
Si
-
Le produit scalaire est nul si l'un des vecteurs est nul ou si l'angle entre eux est droit (c’est-à-dire si et α = π/2 rad = 90 °), les vecteurs
Cette opération a été introduite pour simplifier les calculs sur les projections orthogonales. En effet si vu est la longueur algébrique de la projection de
Ainsi, si la norme de
Propriétés
- Le produit scalaire est commutatif
- Il est distributif sur l'addition des vecteurs
- Le vecteur nul est l'élément absorbant du produit scalaire
-
- Le carré scalaire d'un vecteur est égal au carré de sa norme
-
- Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul
-
- Dans le plan rapporté à une base orthonormale
Soient
- Dans l'espace rapporté à une base orthonormale
Voir aussi ( pour une définition générale valable dans toutes les branches des mathématiques )
- Produit scalaire
Produit vectoriel de deux vecteurs dans l'espace
Notons tout d'abord que deux vecteurs non colinéaires
Trois vecteurs non coplanaires forment une base. La base
On définit le produit vectoriel des deux vecteurs
- normal au plan vectoriel de base
- dont la norme vaut
- tel que
On étend la définition précédente au cas où
- Voir l'article détaillé Produit vectoriel.
Remarque :
Le produit vectoriel agit sur des objets mathématiques de différentes sortes, soit des vecteurs, soit des pseudovecteurs. Cette distinction est peu importante en base orthonormée (sauf pour les symétries) mais si elle n'est pas faite en base non orthonormée, cela aboutit à des absurdités. On a ce problème en physique avec notamment les champs magnétiques et les moments, qui ressemblent beaucoup aux vecteurs, mais qui sont en fait des pseudovecteurs, et n'obéissent pas aux mêmes règles de calcul.
- Voir aussi l'article Pseudovecteur
Produit mixte
Définition et propriétés
Étant donnés trois vecteurs
![\left[\vec u, \vec v, \vec w\right] = (\vec u \wedge \vec v) \cdot \vec w\,](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/e/e3e94bd42adeb89556d444a062b694c4_235383d7f0e8425cce4294ee0e759328.png)
On peut démontrer que l'on a :
![\left[\vec u, \vec v, \vec w\right] = \left[\vec v, \vec w, \vec u\right] = \left[\vec w, \vec u, \vec v\right]\,](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/2/2de66ecb34ed99f1843a1bff308ee501_499ad989a40717a0f8d093ab2c0966bc.png)
![\left[\vec v, \vec u, \vec w\right] = \left[\vec w, \vec v, \vec u\right] = \left[\vec u, \vec w, \vec v\right] = - \left[\vec u, \vec v, \vec w\right]\,](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/d/d8d1d2a868d9c23b9695708d8f1c7989_d1f08d18d60c73a640bdaeec8753144e.png)
et aussi :
![\left[\vec u, \vec v, \vec w\right] = \begin{vmatrix} u_x & u_y & u_z\\v_x & v_y & v_z\\w_x & w_y & w_z \end{vmatrix}](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/4/4f9e150129fca86f8f9a817603d4a6a4_5a74aa3c8539ecc1c1ca4553313e3eba.png)
autrement dit :
![\left[\vec u, \vec v, \vec w\right] = (u_x v_y w_z + v_x w_y u_z + w_x u_y v_z) - (u_z v_y w_x + v_x w_z u_y + w_y u_x v_z)\,](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/5/56b2d64ea817a9f73e683384852d4384_d4fb9b5be6ba29cc068bf91960805f26.png)
Remarques :
- Si deux des trois vecteurs sont égaux ou colinéaires, le produit mixte est nul.
- Le produit mixte de trois vecteurs vrais (en opposition à des pseudovecteurs) est une quantité pseudoscalaire.
Application du produit mixte
- Si les vecteurs
![\left[\vec u, \vec v, \vec w\right]\,](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/b/b03580ab9cbe8ad1222dfafc855ee3e4_f7f650bad999beb41e90d3bf339d2018.png)
![\left[\vec u, \vec v, \vec w\right]\,](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/b/b03580ab9cbe8ad1222dfafc855ee3e4_f7f650bad999beb41e90d3bf339d2018.png)
Double produit vectoriel
On peut combiner trois vecteurs
C'est ce qu'on appelle un double produit vectoriel.
Exemple :
Attention : comme le produit vectoriel n'est ni associatif, ni commutatif, il est nécessaire d'utiliser comme ici des parenthèses et le résultat va dépendre à la fois de l'ordre dans lequel les opérations sont effectuées et de l'ordre de présentation des 3 vecteurs.
On peut démontrer (sans difficulté mais assez laborieusement) les 2 formules suivantes :
et
