Cet article traite des opérations portant sur les vecteurs en géométrie euclidienne.
Les vecteurs dont il sera question dans cet article sont ceux de l'espace ou du plan .
Comme souligné ci-dessus, certaines constructions géométriques sont spécifiques aux vecteurs. Ces constructions géométriques ayant des propriétés communes avec les opérations sur les nombres (addition, multiplication), on adopte une notation similaire.
Le terme " scalaire " désigne ici un nombre réel. Le produit d'un vecteur par un scalaire a est un vecteur noté
Il s'agit d'une dilatation (si |a| >1) ou d'une contraction (si |a| <1), bref d'une homothétie de rapport a.
produit d'un vecteur par un scalaire a
On a
1 est donc l'élément scalaire neutre, et 0 l'élément scalaire absorbant pour cette opération. Le produit d'un vecteur par un scalaire est distributif sur l'addition des scalaires
mais il n'est pas commutatif : la notation n'a pas de sens.
Notez que deux vecteurs sont colinéaires (parallèles) si et seulement s’ils sont proportionnels, c'est-à-dire s'il existe un nombre a tel que .
La somme de deux vecteurs et est un vecteur, noté , qui est construit de la manière suivante :
Il s'agit du troisième côté d'un triangle formé par les deux premiers vecteurs.
On peut aussi le construire d'une autre manière :
Dans les deux cas, on place les vecteurs bout-à-bout ; mais si l'origine d'un vecteur correspond à l'extrémité de l'autre, on utilise la méthode du triangle, si les origines sont confondues, on utilise la méthode du parallélogramme.
Somme de deux vecteurs
Si l'on a trois points A, B et C, alors on a la " relation de Chasles " :
on déduit de cela que
ce qui permet de définir l'opposé d'un vecteur, et donc la soustraction : en posant la notation
on a
L'opposé d'un vecteur est le vecteur de même direction, de même longueur, mais de sens opposé.
On a :
est l'élément neutre de l'addition des vecteurs. L'addition des vecteurs est commutative
Le produit d'un scalaire par un vecteur est distributif sur l'addition des vecteurs :
Si et sont deux vecteurs faisant un angle géométrique α, on appelle produit scalaire, et on note , le nombre (réel) valant :
Le produit scalaire est nul si l'un des vecteurs est nul ou si l'angle entre eux est droit (c’est-à-dire si et α = π/2 rad = 90 °), les vecteurs et sont dans ce cas orthogonaux, strictement positif si l'angle est aigu et strictement négatif si l'angle est obtus.
Cette opération a été introduite pour simplifier les calculs sur les projections orthogonales. En effet si vu est la longueur algébrique de la projection de sur une droite orientée selon (vu est positif si la projection est dans le même sens que , négatif s'il est dans le sens opposé), alors on a
Ainsi, si la norme de vaut 1, alors la longueur algébrique de la projection orthogonale de sur la droite est . De la même manière, si uv est la longueur algébrique de la projection de sur une droite orientée selon ,alors on a
Soient et deux vecteurs dans une base orthonormale de coordonnées polaires respectives et . On a :
Voir aussi ( pour une définition générale valable dans toutes les branches des mathématiques )
Notons tout d'abord que deux vecteurs non colinéaires et définissent un plan vectoriel ; un troisième vecteur est coplanaire aux deux précédents si et seulement s'il peut s'écrire comme une combinaison linéaire des deux premiers, c'est-à-dire s'il existe deux réels a et b tels que
Trois vecteurs non coplanaires forment une base. La base est dite directe si on peut l'imager avec la main droite, étant le pouce, étant l'index et étant le majeur.
On définit le produit vectoriel des deux vecteurs et , noté , comme étant le vecteur :
On étend la définition précédente au cas où et sont colinéaires en posant :
Remarque :
Le produit vectoriel agit sur des objets mathématiques de différentes sortes, soit des vecteurs, soit des pseudovecteurs. Cette distinction est peu importante en base orthonormée (sauf pour les symétries) mais si elle n'est pas faite en base non orthonormée, cela aboutit à des absurdités. On a ce problème en physique avec notamment les champs magnétiques et les moments, qui ressemblent beaucoup aux vecteurs, mais qui sont en fait des pseudovecteurs, et n'obéissent pas aux mêmes règles de calcul.
Étant donnés trois vecteurs , et , on appelle produit mixte de ces 3 vecteurs la quantité :
.
On peut démontrer que l'on a : et :
et aussi :
autrement dit :
Remarques :
On peut combiner trois vecteurs , et par deux produits vectoriels successifs.
C'est ce qu'on appelle un double produit vectoriel.
Exemple :
Attention : comme le produit vectoriel n'est ni associatif, ni commutatif, il est nécessaire d'utiliser comme ici des parenthèses et le résultat va dépendre à la fois de l'ordre dans lequel les opérations sont effectuées et de l'ordre de présentation des 3 vecteurs.
On peut démontrer (sans difficulté mais assez laborieusement) les 2 formules suivantes :
et