Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle d'Euclide par l'axiome des parallèles. Elles remettaient en cause les notions de longueur et d'angle, qui reposaient elles-mêmes sur celle de distance, et poussèrent à redéfinir l'espace euclidien, en excluant ces notions et tout ce qui s'y rapportait. Le résultat fut une géométrie affine, où l'espace apparait comme une structure algébrique, voisine de celle d'espace vectoriel qui en fut dégagée par la suite (donnant ainsi naissance à l'algèbre linéaire).
Il existe de nombreuses manières de définir un espace affine (voir l'article " Structure affine "). Ici, nous supposons donnés :
Un espace affine peut alors être défini comme le triplet où est une application satisfaisant aux deux propriétés suivantes (appelées axiomes des espaces affines) :
Notation : pour tout couple de points , et si toute confusion est impossible, on note " " le vecteur .
La propriété (A1) s'écrit alors :
Cette propriété est souvent appelée Relation de Chasles.
La propriété (A2) dit tout simplement que lorsqu'on fixe un point dans , l'application :
est une bijection. Elle permet aussi de définir une opération (qui est plus utilisée comme une notation) correspondant à l'addition d'un vecteur à un point :
La dimension d'un espace affine est la dimension de l'espace vectoriel qui lui est associé.
L'espace vectoriel est appelé direction de
Les propriétés suivantes découlent directement de la définition d'espace affine (c'est-à-dire des axiomes (A1) et (A2)). Soient et des points quelconques dans un espace affine . Nous avons alors :
est un espace affine de dimension 2 (c'est le plan affine).
est un espace affine de dimension 3.
où est vu à la fois comme un espace de points et un -espace vectoriel, et l'application est définie par :
où V est vu à la fois comme un espace de points et un -espace vectoriel, et l'application est définie par :
Un sous-espace affine d'un espace affine est un triplet où est inclus dans et est un sous-espace vectoriel de , le tout satisfaisant aux deux propriétés suivantes :
Le sous-espace vectoriel est appelé la direction du sous-espace affine. La dimension d'un sous-espace affine est tout simplement la dimension de sa direction.
On nomme Hyperplan affine un sous-espace affine dont la direction est un hyperplan de V.
Tout hyperplan affine peut se définir comme ensemble des points vérifiant une équation f(M) = 0, où f est une forme affine, c'est-à-dire une application affine dont la partie linéaire est une forme linéaire.
Dans un espace affine , deux sous-espaces affines et sont parallèles si l'un des sous-espaces vectoriels, ou , est inclus dans l'autre.
Le célèbre cinquième postulat d'Euclide n'est alors qu'un résultat facile à démontrer à partir des définitions et des propriétés des espaces vectoriels :
Théorème (Cinquième Postulat D'Euclide) : Dans un espace affine , étant donné un point quelconque et une direction , il existe un unique sous espace affine passant par et ayant comme direction.