Cône (géométrie) - Définition

En géométrie, un cône désigne ou bien une surface réglée ou bien un solide

Surface

Un cône est une surface réglée définie par une droite (d), appelée génératrice, passant par un point fixe S appelé sommet et un point variable décrivant une courbe plane fermée (c), appelée courbe directrice.

On parle aussi dans ce cas de surface conique.

Parmi ces surfaces coniques, la plus étudiée est le cône de révolution dans lequel la courbe directrice est un cercle de centre O situé dans un plan perpendiculaire à (SO). . ce cône est appelé de révolution car il peut être généré simplement par la rotation d'une droite (d) passant par S autour d'un axe (Sz) différent de (d). La génératrice du cône fait alors un angle fixe a avec l'axe de rotation.

C'est à partir de ce cône de révolution que les mathématiciens (dont Apollonius de Perga) ont classifié un ensemble de courbes comme des coniques (intersection du cône et d'un plan) : cercles, ellipses, paraboles, hyperboles.

Dans le repère orthonormal (S, i, j, k), l'équation du cône de révolution d'axe (Sz) et de sommet S est donnée par :

où a est l'angle du cône, formé par l'axe et une génératrice.

Solide

cône de révolution et cône quelconque

On appelle aussi cône le solide délimité par la surface conique , le sommet S et un plan (P) ne contenant pas S et sécant à toutes les génératrices. La section du plan et de la surface s'appelle la base du cône.

Lorsque la section est circulaire de centre O et que la droite (OS) est perpendiculaire à la section, le cône est appelé cône de révolution ou cône circulaire droit. C'est le cône le plus connu (cornet de glace, chapeau de clown). Dans ce cas, la distance séparant le sommet d'un point quelconque du cercle est constante et s'appelle l'apothème du cône.

Lorsque la courbe fermée est un polygone, on obtient une pyramide.

Quelle que soit la forme du cône, son volume est toujours

où B est la surface de la base et h la hauteur du cône, c'est-à-dire la distance séparant le sommet S et le plan (P)

cône de révolution

Dans le cas particulier du cône de révolution, les formules du volume V et de l'aire A (aire de la surface enfermant le cône) sont

, où est le rayon du cercle de base, la hauteur du cône et l'apothème du cône.