Arbelos - Définition et Explications

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L'arbelos est une figure géométrique plane étudiée , entre autres, par Archimède(-287 - -212, Syracuse). Le terme " arbelos " signifie couteau du savetier.

Construction

Soit un demi-cercle de diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la sphère. Le diamètre est aussi la longueur de ce segment. Pour indiquer...) horizontal (Horizontal est une orientation parallèle à l'horizon, et perpendiculaire à la verticale. Une ligne horizontale va « de la...) BC. Soit A un point (Graphie) quelconque de ce diamètre.

  • Tracer le demi-cercle de diamètre BA intérieur.
  • Tracer le demi-cercle de diamètre AC intérieur.
  • Griser la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est...) intérieure obtenue : c'est une lame d'arbelos (L'arbelos est une figure géométrique plane étudiée , entre autres, par Archimède(-287 - -212, Syracuse). Le terme « arbelos » signifie couteau du savetier.).

Propriétés

Cette figure possède de nombreuses propriétés dont voici quelques-unes:

Propriété de l'aire : soit AH la demi-corde verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le fil à plomb.) passant par A . L'aire (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) de l'arbelos est égale à l'aire du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée...) de diamètre AH.

Démonstration : il suffit d'appeler b et c les diamètres AB et AC, et h la hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) AH. Les aires des demi-cercles sont alors respectivement de {\pi \over 8}b^2, {\pi \over 8}c^2, {\pi \over 8}(b + c)^2. Puis, par différence, on obtient l'aire de l'arbelos {\pi \over 4}bc. La dernière étape fait appel aux propriétés du triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination...) rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.) dans lequel le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un...) de la hauteur est égal au produit des longueurs découpées sur l'hypoténuse (Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté non adjacent à l'angle droit, ou le côté opposé à l'angle droit. Dans un triangle rectangle, la longueur de l'hypoténuse égale la racine carrée de la somme des carrés des deux...). En d'autres termes : bc = h2. Ce qui nous donne pour l'aire de l'arbelos : {\pi \over 4}h^2 qui est bien l'aire du cercle de diamètre AH

Propriété du rectangle: Le segment BH coupe le demi-cercle BA en D. Le segment CH coupe le demi-cercle AC en E. Alors DHEA est un rectangle

Démonstration : Les triangles BDA, BHC et AEC sont rectangles car inscrits dans des demi-cercles (théorème de Thalès (cercle). Le quadrilatère (En géométrie plane, un quadrilatère est un polygone à 4 côtés.) ADHE possède donc trois angles droits, c'est un rectangle.

Propriété des tangentes : La droite (DE) est une tangente commune aux deux cercles.

Démonstration : La similitude de centre D qui envoie B sur A a pour angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) π / 2 et envoie aussi A sur H (les triangles DBA et DAH sont semblables). Elle envoie donc le milieu I de [AB] sur le milieu O de [AH] et l'angle IDO est droit. La droite (DO) est donc tangente au premier cercle en D. Comme ADHE est un rectangle, le point O est sur (DE) donc (DE) est une tangente du premier cercle. Elle est tangente du second par un raisonnement analogue.
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