Une hypocycloïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle dit directeur et à l'intérieur de celui-ci. Il s'agit donc d'un cas particulier de cycloïde à centre, qui est une catégorie de courbe cycloïdale.
Le mot est une extension de cycloïde, inventé en 1599 par Galilée, et a la même étymologie : il vient du grec hupo (sous), kuklos (cercle, roue) et eidos (forme, " semblable à ").
La courbe elle-même fut étudiée par Albrecht Durer en 1525, Rømer en 1674 (qui la baptisa) et Daniel Bernoulli en 1725.
Une hypocycloïde peut être définie par l'équation paramétrique suivante :
où est le rayon du cercle de base et celui du cercle roulant. Avec , cette équation peut donc également s'écrire :
La courbe est formée d'arcs isométriques (appelés arches) séparés par des points de rebroussements. Si q est rationnel (et peut donc s'écrire q=a/b où a et b sont des entiers), a représente le nombre d'arches de la courbe. On peut aussi voir ces deux grandeurs de la manière suivante :
Les points de rebroussements sont obtenus pour . La longueur d'une arche est de .
Si q est entier, la longueur totale de la courbe vaut fois la longueur du cercle de base, et l'aire totale vaut fois celle du cercle de base.
Le théorème de la double génération prouve qu'une hypocycloïde est aussi une péricycloïde, c'est-à-dire la courbe décrite par un point d'un cercle de rayon r+R roulant sans glisser sur ce cercle directeur en le contenant.
Les petites oscillations du pendule de Foucault forment également une hypocycloïde.