Les coniques constituent une famille très utilisée de courbes planes algébriques, qui peuvent être définies de plusieurs manières différentes, toutes équivalentes entre elles.
Les coniques forment une famille de courbes planes résultant de l'intersection d'un plan avec un cône de révolution.
Selon les positions relatives du plan et du cône, on obtient différents types de coniques :
Il s'agit de définir les coniques sans distances, sans angles, juste avec la règle, le crayon et une poignée d'axiomes, dans la plus pure tradition de Blaise Pascal et Girard Désargues: voir traité projectif des coniques
La définition monofocale des coniques est encore appelée définition par foyer et directrice de ces coniques.
Dans un plan (p), on considère une droite (d) et un point F non situé sur (d). Soit e un réel strictement positif.
On appelle conique de droite directrice (d), de foyer F et d'excentricité e l'ensemble des points M du plan (p) vérifiant :
où
et
On notera que les ellipses sont des courbes fermées et bornées, que les paraboles sont ouvertes et infinies, et que les hyperboles possèdent deux branches symétriques par rapport au point d'intersection de leurs asymptotes communes.
Soit O la projection orthogonale du point F sur la droite (d). Dans le plan (p) on définit alors le repère orthogonal (O, (OF), (d)).
Soit p la distance de O à F (p s'appelle le paramètre). Dans le repère défini précédemment F a pour coordonnées (p,0).
Pour un point M de coordonnées (x,y) on peut exprimer les distances précédentes à l'aide des deux formules suivantes :
ce qui implique en élevant (lien) au carré et en utilisant (lien) et (lien) :
soit après simplification :
En fonction des valeurs de e on obtient plusieurs types de courbes :
Les coniques dégénérées s'obtiennent en modifiant les conditions précédentes
Il n'existe donc pas de définition de cercle par foyer et directrice. En revanche, si pe = r et si e tend vers 0 (ce qui augmente à l'infini la distance entre le foyer et la directrice), l'ellipse se rapproche d'un cercle de centre F et de rayon r
L'ellipse peut être définie comme le lieu des points dont la somme des distances à deux points fixes appelés foyers de l'ellipse est constante et égale à une valeur fixée. Cette définition reste valable dans le cas du cercle, dans lequel les foyers sont confondus.
L'hyperbole peut être définie comme le lieu des points dont la différence des distances à deux points fixes appelés foyers de l'hyperbole est constante et égale à une valeur fixée.
La parabole n'a pas de définition bifocale.
En géométrie analytique affine, les coniques sont les courbes planes algébriques du second ordre, c'est-à-dire les courbes planes dont les coordonnées cartésiennes x et y des points sont solution d'une équation polynômiale du second degré, de la forme :
avec l'un au moins des trois coefficients A, B ou C non nul pour que l'équation soit effectivement du second degré ( condition (1) ).
Suivant le repère utilisé, l'expression de l'équation sera plus ou moins simple, mais restera toujours du second degré. Il est intéressant de chercher le repère dans lequel l'expression de l'équation, dite équation réduite, sera la plus simple.
Pour cela, nous pouvons remarquer d'abord qu'il est toujours possible de rendre le coefficient B nul par une rotation du repère.
Nous regardons ensuite les coefficients A et C :
En géométrie analytique projective, les coniques sont encore les courbes planes algébriques du second ordre, c'est-à-dire les courbes planes dont les points ont des coordonnées projectives X, Y et Z qui vérifient une équation polynômiale homogène du second degré de la forme (voir coordonnées homogènes):
On travaille donc dans le plan projectif où un point générique a pour coordonnées homogénes [X:Y:Z], et deux coordonnées homogènes proportionnelles ([λX:λY:λZ] et [X:Y:Z], pour un certain λ) désignent le même point du plan. Notre plan projectif contient plusieurs exemplaires du plan affine ; notamment l'ensemble des points admettant des coordonnées homogènes de la forme [X:Y:1].
On peut noter alors que pour Z = 1, on retrouve l'équation du cas affine. En fait, on a :
Une première question qu'on se pose est alors : en se limitant à l'image de la conique dans le plan affine ci-dessus défini, quel type de conique affine retrouve-t-on? (et même, retrouve-t-on bien une conique affine?). Pour ce faire, on regarde d'abord leur comportement à l'infini ( présence d'asymptotes ou de branches paraboliques,...). Faire tendre x et y vers l'infini revient à faire tendre Z vers 0. Pour Z = 0, l'équation précédente se réduit à :
Cette équation est appelée équations aux directions asymptotiques, car le rapport Y / X donne alors la pente à l'infini de la courbe, c'est-à-dire sa direction asymptotique.
Cependant, le véritable intérêt de l'utilisation de la géométrie projective est ailleurs. La classification qui a été faite dans le cas affine, et réinterprétée dans le cadre projectif, se base sur des changements de coordonnées affines ; et qui peuvent s'interpréter, le plan affine étant vu comme une partie du plan projectif, comme les changements de coordonnées projectifs qui laissent fixe la droite à l'infini (c'est-à-dire les points du plan projectif de la forme [X,Y,0]). Il existe évidemment beaucoup d'autres changements de coordonnées projectifs, et s'autoriser à les utiliser va permettre d'assouplir grandement la classification des coniques. En fait, la classification des coniques projectives provient directement de celle des formes bilinéaires symétriques sur l'espace vectoriel de dimension 3 sous-jacent à notre plan projectif.
En géométrie analytique barycentrique, les coniques sont toujours les courbes planes algébriques du second ordre, c'est-à-dire les courbes planes dont les points ont des coordonnées barycentriques λ, μ et ν qui vérifient une équation polynômiale homogène du second degré de la forme :
On peut identifier cette équation à la précédente, en posant :
On obtient alors, à un coefficient multiplicatif près :