Théorème de Heine - Définition

On dit alors que f est uniformément continue sur [a,b]

Démonstration

Soit ε > 0 fixé et
Comme f est continue sur [a,b], il existe un α(x) tel que Mais les α(x) sont en nombre a priori infini, et l'on sait seulement que Le théorème sera démontré si et seulement si on prouve que

Si Q est un point du segment [a,b] alors il lui correspond un α(Q) tel que pour tout point P de [a,b]

Soit I(Q) l'intervalle de milieu Q et de longueur α(Q). Ces I(Q) recouvrent [a,b], mais d'après le Théorème de Borel-Lebesgue il suffit d'un recouvrement fini d'entre eux pour recouvrir [a,b]

soit α la longueur du plus petit de ces intervalles en nombre fini

Soient P et P' deux points de [a,b] tel que

P appartient à un intervalle I(Q') et

Or

Comme (1) implique (2) on obtient sous la seule condition (3)

Démonstration dans le cas général en utilisant la propriété de Bolzano-Weierstrass

On se place dans le cas général de deux espaces métriques X et Y avec X compact. On note d la distance sur X et d' la distance sur Y. Le théorème de Heine nous dit alors toute application continue de X dans Y est uniformément continue, ce qui s'exprime par :

0, \exists \alpha >0" > tel que

Pour montrer cela, on raisonne par l'absurde en considérant f continue sur X mais non uniforménent continue. Alors, on sait qu'il existe ε > 0 tel que pour chaque , on peut trouver deux points a_n et b_n de X avec :

et \epsilon\," >.

La suite (a_n) est à valeurs dans le compact X donc on peut en extraire une sous-suite convergente. On note l'extraction et la limite de la sous-suite. La relation montre que (b_φ(n)) est aussi convergente de limite .

Il s'en suit, en faisant tendre n vers et en utilisant la continuité de f et de la distance d' :

.

On obtient là une contradiction. Donc f est uniforménent continue sur X.