En Topologie de , le théorème de Borel-Lebesgue ou de Heine-Borel établit l'équivalence entre les deux propriétés suivantes d'un ensemble A de vecteurs :
Cette seconde propriété est en fait la définition générale d'un compact en topologie : un espace est compact si et seulement si il est séparé et a cette propriété. Le théorème de Borel-Lebesgue peut donc se lire : un sous-ensemble de est compact si et seulement il est fermé et borné.
À cause de ce théorème beaucoup d'auteurs préfèrent définir les compacts de comme les ensembles fermés et bornés de vecteurs. Dans ce cas le théorème se lit : un sous-ensemble de est compact si et seulement il a la propriété de Borel-Lebesgue.
Le théorème peut se généraliser à tout espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie, mais devient faux en dimension infinie.
Pour cela montrons qu'un segment de est compact. Soit F un segment [a,b] et C un recouvrement ouvert de F. Considérons alors l'ensemble E des points x de F tels que [a,x] admette un recouvrement fini extrait de C. E est non vide car il contient a. E est aussi majoré par b borne supérieure de F, il possède donc une borne supérieure c. E est ouvert dans F car tout point x de E admet comme voisinage un intervalle ouvert contenant x contenu dans l'ouvert du recouvrement fini contenant x, et cet intervalle est naturellement contenu dans E. La borne supérieure c de E est incluse dans E car il existe un ouvert de C contenant c; or l'union de cet ouvert et du recouvrement fini forme un nouveau sous-recouvrement fini contenant la borne supérieure. Le seul ouvert fermé non vide de F est lui même, donc E est égal F. La propriété est démontrée pour les segments.
Un fermé borné de est toujours inclus dans un produit de segments ; il suffit alors de remarquer que les parties fermées des compacts sont compactes.