Vendredi 18 Avril 2025
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Mathématiques

Norme (mathématiques) - Définition

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs est disponible ici.

En mathématiques, une norme est une fonction qui donne un sens à l'idée usuelle de longueur d'un vecteur, a priori sans recourir à un produit scalaire. L'intérêt de cette notion est d'être valable aussi bien pour les espaces de dimensions finie que pour les espaces de fonctions. Il y a plusieurs façons de définir de telles normes sur un espace vectoriel, et le choix d'une norme adaptée à un problème d'analyse est une étape importante dans sa résolution.

Définitions

Norme sur un espace vectoriel

Soit (\mathbb K , \times, +) le corps \R ou \Complex , et (E, + E,0E) un espace vectoriel sur \mathbb K . On appelle norme sur E une application \mathcal N de E dans \R^+ telle que:

  • Séparation : \mathcal N(x)=0 \Rightarrow x=0_E \qquad (S)
  • Homogénéité : \forall (\lambda,x)\in \mathbb K \times E\ :\ \mathcal N (\lambda \cdot x) = |\lambda| \mathcal N (x)\qquad (H)
  • Inégalité triangulaire : \forall (x,y) \in E^2\ :\ \mathcal N (x\,+_{\!\scriptscriptstyle E}\,y) \leq \mathcal N (x) +\mathcal N (y) \qquad (I) .

Habituellement, l'image d'un vecteur x par une norme se note \|x\| . Remarquons que:

  • (S),(H) \Leftrightarrow \forall (\lambda,x,y) \in \mathbb K \times E^2\ :\ \|(\lambda \cdot x +_{\!\scriptscriptstyle E} y)\| \leq |\lambda|\cdot\|x\| + \|y\| (sous-linéarité);
  • (H) permet la réciproque de (S).
  • (H) rend la norme symétrique: \|x-y \| = \|y-x \|

E est alors appelé espace vectoriel normé (parfois abrégé EVN).

Remarque  : cette définition s'étend mot pour mot aux espaces vectoriels sur un corps valué complet. Dans ce cas, certaines normes appelées ultramétriques vérifient une condition plus forte que l'inégalité triangulaire.

Norme d'algèbre

Supposons \ (A,+_A,\times_A) une \mathbb K -algèbre et \mathcal N une norme sur \ (A,+_A,0_A) . Si:

  • \forall (x,y) \in A^2: \mathcal N(x \times_A y) \leq \mathcal N(x)\mathcal N(y) (sous-multiplicativité)

alors \mathcal N est une norme d'algèbre. Si l'algèbre est unitaire, on peut compléter la structure par :

  • \mathcal N(1_A)=1

Exemple : sur l'algèbre \ \mathbb K on définit une norme d'algèbre en considérant l'application " module " \ | \ | (ou " valeur absolue ").

Relations fondamentales

L'inégalité triangulaire entraîne (par récurrence immédiate)

\mathcal N(\lambda_1\cdot x_1 + \dots + \lambda_n\cdot x_n) \leq | \lambda_1|\mathcal N(x_1)+ \dots + |\lambda_n|\mathcal N(x_n) \ \

et se " renverse " sous la forme

| \mathcal N(x)- \mathcal N(y)| \leq \mathcal N(x-y)

En effet:

\mathcal N(x)=\mathcal N(x-y+y) \leq \mathcal N(x-y)+ \mathcal N(y) d'où:
\mathcal N(x)- \mathcal N(y) \leq \mathcal N(x-y) .

De même:

\mathcal N(y)- \mathcal N(x) \leq \mathcal N(y-x) \ =\mathcal N(x-y) ,

enfin:

\max(\mathcal N(x)- \mathcal N(y),\mathcal N(y)- \mathcal N(x) )\leq \mathcal N(x-y)

Norme euclidienne et produit scalaire

Tout produit scalaire sur \ E y engendre une norme \ \mathcal N_{\langle,\rangle}:\ E\to\R_+, \ x \to \langle x,x\rangle^{1/2}

Cette norme est appelée la norme euclidienne associée au produit scalaire.

Exemples

Espaces normés de dimension finie

Normes canoniques sur Kn

L'ensemble des vecteurs de norme 1 dans R2 pour différentes normes

L'espace \mathbb K^n possède plusieurs normes remarquables pour lesquelles existent des notations traditionnelles.

Norme-infini
Soit \ x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb K^n: \|x\|_\infty = \max_{i\in[1,\dots,n]}|x_i|
Norme-1
Soit \ (x_1,\dots,x_n)\in\mathbb C^n: \|x\|_1=\sum_{i=1}^n |x_i| . D'où :
\forall (a,b)\in\mathbb R^2:\|(a,b)\|_1=|a|+|b| .
Norme-2
Soit \ (x_1,\dots,x_n)\in\mathbb K^n: \|x\|_2= \left (\sum_{i=1}^n |x_i|^2 \right )^{1/2} . Dans \R^n , elle est la norme " euclidienne ", ou " canonique ". C'est la norme associée au produit scalaire de même nom.
\forall (a,b)\in\R^2:\|(a,b)\|_2=\left(a^2+b^2 \right)^{1/2}
Norme-p
Soit \mathbb K^n , muni d'une quelconque des normes-p \|(x_1, x_2, \ldots, x_n)\|_p = \left ( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right )^{1/p} avec p \geq 1 .
C'est un espace vectoriel normé.

La notation \| \|_{\infty} est due au fait que \lim_{p\to+\infty} \|x\|_p =\|x\|_{\infty} L'inégalité triangulaire pour ces normes s'appelle l'inégalité de Minkowski, elle est une conséquence de résultats de convexité parmi lesquels l'inégalité de Hölder.

Ceci correspond à la norme habituellement utilisée pour la distance entre deux points dans le plan ou l'espace géométrique.

Autres espaces de dimension finie

Tout \mathbb K -espace vectoriel E de dimension finie n possède une norme.

En effet, E est isomorphe à \mathbb K^n . Soit u un isomorphisme de E vers \mathbb K^n et \mathcal N une norme de ce dernier. Alors N \circ u est une norme de E : u est linéaire, N est sous-linéaire donc N \circ u est sous-linéaire. De plus, N \circ u(x)=0_\R \Rightarrow u(x)=0_{\mathbb K} \Rightarrow x=0_E car u est injectif. Concrètement, on choisit en général une base de E et on utilise des normes de type norme 1, 2, infini, ou p vis-à-vis des coordonnées dans cette base.

Cercles carrés

Bertrand Russell aimait à donner comme exemple d'oxymore l'expression " cercle carré ". S'il s'agit bien d'un oxymore en géométrie euclidienne, les cercles carrés existent bel et bien lorsqu'on adopte par exemple la norme infinie. L'ensemble des points de norme 1 est un carré incliné à 45° et est un cercle dans la mesure où tous leurs points sont à égale distance de l'origine.

Espaces normés de dimension infinie

  • L'ensemble \ell^p des suites complexes a=(a_n)_{n\in\mathbb N} telles que \ \sum a_n converge au sens de la norme-p:
\|a\|_p = \left ( \sum_{n=0}^{+\infty} |a_n|^p \right )^{1/p} < +\infty
  • \ell^{\infty} est l'ensemble des suites complexes bornées:
\|\|_\infty:\ell^\infty\to \mathbb R_+ , a \to \sup_{n \in\mathbb N} |a_n| en est la norme naturelle.
  • Le \mathbb C -espace vectoriel \ \mathcal C(\mathcal I,\mathbb C) des fonctions continues d'un compact \mathcal I de \mathbb R dans \mathbb C est muni de la norme-p:
\ \|f\|_p = \left ( \int_I |f|^p \right )^{1/p}
et de la norme-infini :
\|f\|_\infty=\sup_I |f|
que l'on retrouve avec:
\ \lim_{p} \left ( \int_I |f|^p \right )^{1/p} =\sup_I |f|
On l'appelle également norme de la convergence uniforme.
  • L'algèbre \mathcal {M}_{n\times p}(\mathbb C) est normée par \| \ \|_\infty où:
\forall A=(a_{i,j}) \in \mathcal {M}_{n\times p} (\mathbb C):\ \| A \|_\infty = \max_{i,j}|a_{i,j}|
  • L'algèbre \mathbb K[X] des polynômes sur \mathbb K peut être normée de la façon suivante :
Soit \ \mathcal A non vide et borné dans \mathbb K .
\forall P \in\mathbb K[X]:\ \sup|P(\mathcal A)|=\| P \|_\infty^{\mathcal A}
construit alors \mathcal N_\infty^{\mathcal A} une norme d'algèbre sur \mathbb K[X] .

Topologie induite

Un espace vectoriel normé (E,\| \|) peut être muni d'une distance d_E (x,y) = \|x-y\| qui fait de lui un espace métrique. Sa structure topologique est donc celle d'espace métrique.

On appelle espace de Banach un espace vectoriel normé complet. Une algèbre normée complète est dite algèbre de Banach.

Continuité de la norme

En notant d la distance canonique de \mathbb R  : d(x,y) = | x − y | , \|\cdot\| est 1-lipschitzienne :

\ d(\|x\|,\|y\|)= | \|x\|-\|y\| | \leq \|x-y\| = 1\cdot d_E (x,y) . Comme \| \cdot \| est lipschitzienne, elle est continue.
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