Homéomorphisme - Définition
En topologie, un homéomorphisme est un isomorphisme entre deux espaces topologiques : c'est une bijection continue de l'un dans l'autre, dont la réciproque est continue. Dans ce cas, les deux espaces topologiques sont dits homéomorphes.
La notion d'homéomorphisme est la bonne notion pour dire que deux espaces topologiques sont " le même " vu différemment. C'est la raison pour laquelle les homéomorphismes sont les isomorphismes de la catégorie des espaces topologiques.
En général, une application continue bijective n'a aucune raison d'avoir un inverse continu. Par exemple, l'application
- Une bijection continue ouverte ou fermée est un homéomorphisme.
- Soit K un espace topologique compact, E un espace topologique séparé, et
En effet, toute partie fermée de K est un compact ; comme E est séparé, l'image par f d'une partie fermée de K est un compact, a fortiori une partie fermée de K. Donc, f est une application continue bijective fermée, ie un homéomorphisme par le point précédent.
Vous pouvez visualiser l'action d'un homéomorphisme du plan sur un carré avec une petite animation sur geogebra puis, il est intéressant de définir explicitement cet homéomorphisme en suivant l'activité proposée.
