Théorème de Baire - Définition

Dans ce qui suit, int(A) désigne l'intérieur d'une partie A de E.

• Soit une suite d'ouverts denses dans E localement compact. Soit V un ouvert quelconque (non vide); nous voulons montrer que :

rencontre cet ouvert. Comme E est localement compact, on peut sans perte de généralité supposer que cet ouvert est relativement compact (ie d'adhérence compacte).

Puisque A₁ est dense, il rencontre V : soit . Ce dernier ensemble, intersection de deux ouverts, est ouvert. Il existe donc un voisinage compact de x₁ (car il existe un système fondamental de voisinages compacts). Une fois U₁ choisi, est un ouvert non vide. Il existe donc un compact .

En itérant cette construction, on obtient une suite de compacts avec .

Or, et l'intersection des U_n est non vide. En effet, les U_j sont des parties compactes de ; si leur intersection était vide, il en serait de même pour une certaine suite finie extraite (propriété de Borel-Lebesgue). Or, les U_n sont une suite décroissante d'ouverts non vides donc cela est impossible. Finalement, , ce qui prouve le résultat.

• Dans le cas où E est un espace métrique complet, le raisonnement est analogue. Soit V une boule fermée centrée en et de rayon strictement positif. Il existe une suite de boules fermées de centre x_n et de rayon inférieur à telles que avec . La suite des B_n étant décroissante, on a . La suite est donc une suite de Cauchy : elle converge donc vers un élément x qui appartient à toutes les B_n et , ce qui prouve le résultat.