Ensemble de Cantor - Définition

L'ensemble de Cantor (ou ensemble triadique de Cantor, ou poussière de Cantor) est un sous-ensemble remarquable de la droite réelle construit par le mathématicien allemand Georg Cantor.

Il s'agit d'un ensemble fermé de [0,1], d'intérieur vide. Il sert d'exemple pour montrer qu'il existe des ensembles non dénombrables mais négligeables au sens de la mesure de Lebesgue. C'est aussi le premier exemple de fractale (bien que le terme ne soit apparu qu'un siècle plus tard), et il possède une dimension fractionnaire au sens de Hausdorff.

Il admet enfin une interprétation en terme de développement des réels en base 3. Pour cette raison, il est souvent noté .

On le construit de manière itérative à partir du segment en enlevant le tiers central ; puis on réitère l'opération sur les deux segments restants, et ainsi de suite. On peut voir les sept premières itérations du procédé sur le schéma suivant :

Construction

Construction itérative

On dénote par l'opérateur " enlever le tiers central ".

On note et on définit par récurrence une suite de parties de par la relation : .

On a :

Alors l'ensemble de Cantor est " la limite " de quand tend vers  : .

Écriture en base 3

On peut aussi définir l'ensemble de Cantor via l'écriture en base 3 : tout réel s'écrit de manière : avec

On écrit alors

Cette écriture est unique à ceci près : on peut remplacer par (et par ) à la fin d'une écriture. Si on choisit de faire cette transformation on peut alors définir par :

L'ensemble de Cantor est formé des réels de ayant une écriture en base 3 ne contenant que des 0 et des 2.

C'est-à-dire

Note: donc 1/3 est dans cet ensemble, puisqu'il admet les deux écritures 0,1000… et 0,02222… en base 3. 2/3 également (0,2000… ou 0,12222…). Remarquez que parmi les nombres admettant un développement propre et un développement impropre, il n'en existe aucun dont les deux écritures vérifient la propriété demandée.

Propriétés

L'ensemble de Cantor a de nombreuses propriétés particulières.

Mesure

L'ensemble de Cantor est de mesure nulle, c'est-à-dire négligeable au sens de la mesure de Lebesgue.

En effet en notant l la mesure de Lebesgue sur , on a :

• ;
• pour une réunion d'intervalles :  ;

où est l'opérateur " ablation du tiers central " (voir premier paragraphe).

On en déduit que pour les étapes de la construction itérative ci-dessus :

Et comme l'ensemble de Cantor est inclus dans tous les A_n : .

L'ensemble de Cantor est donc " petit " au sens de la mesure de Lebesgue.

Non-dénombrabilité

Cependant l'ensemble de Cantor n'est pas dénombrable ; il a la puissance du continu (voir Infini).

En effet on peut montrer que les ensembles et sont équipotents.

Pour cela on associe à tout élément écrit en base 3, l'élément écrit en base 2, avec :

• si  ;
• si .

Par exemple l'élément de l'ensemble de Cantor correspondra à l'élément du segment unité .

Il est facile de voir que cette application est surjective mais non injective (l'élément 0,1 étant l'image de 0,0222222... comme de 0,2). De l'existence d'une surjection de K₃ dans [0,1] et en admettant l'axiome du choix, on déduit l'existence d'une injection de [0,1] dans K₃, et comme l'application identité induit clairement une injection de K₃ dans [0,1], alors d'après le théorème de Cantor-Bernstein, on en déduit que K₃ et [0,1] sont équipotents. Donc l'ensemble de Cantor est aussi en bijection avec , il a la puissance du continu.

On peut aussi utiliser l'écriture en base 3. Celle-ci montre que est équipotent à .

Ainsi l'ensemble de Cantor est " grand " au sens de la théorie des ensembles.

Propriétés topologiques

• L'ensemble de Cantor est compact, et n'a que des points d'accumulation. On dit que c'est un ensemble parfait. Par ailleurs, il est d'intérieur vide,

Démonstration : soit P un point de K₃, et soit une boule ouverte (intervalle ouvert) centrée en P. Cet ouvert contient nécessairement un réel dont le développement en base 3 contient le chiffre 1, qui n'est pas élément de K₃. Donc P n'est pas intérieur à K₃. Par ailleurs, dans ce même intervalle, il existe toujours un réel dont le développement en base 3 s'écrit uniquement avec des 0 ou des 2. Donc P n'est pas un point isolé.

• L'ensemble de Cantor est également totalement discontinu c'est-à-dire que chaque singleton est sa propre composante connexe, et homéomorphe à l'espace topologique .

• Enfin l'ensemble de Cantor est " universel dans la catégorie des espaces métriques compacts", autrement dit tout espace métrique compact est l'image de l'ensemble de Cantor par une application continue. Cette affirmation a des répercussions importantes en analyse fonctionnelle.

Auto-similarité

L'image de l'ensemble de Cantor par l'homothétie h de centre 0 et de rapport 1/3 est elle-même une partie de l'ensemble de Cantor .

Plus précisément, .

Ainsi, est la réunion disjointe de deux parties qui lui sont homothétiques. C'est une manifestation de ce qu'on appelle l'auto-similarité, qui est l'une des propriétés de base des fractales. Sa dimension au sens de Hausdorff est Log(2)/Log(3) (< 1).

Remarque

Une autre version de l'ensemble de Cantor est l'ensemble de Cantor "quatre coins". Il est construit sur le même principe général, mais basé sur un carré : on considére un carré que l'on découpe en 16 carrés de même taille, et on supprime tous les carrés n'étant pas dans un coin du carré de départ. L'ensemble est construit de façon itérative en répétant cette action sur les nouveaux carrés.