Matrice triangulaire - Définition et Explications

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En algèbre linéaire, les matrices triangulaires sont des matrices carrées dont une partie triangulaire des valeurs, délimitée par la diagonale principale, est nulle.

Matrices triangulaires supérieures

Ce sont des matrices carrées dont les valeurs sous la diagonale principale (En algèbre linéaire, la diagonale principale d'une matrice est la diagonale qui descend du coin en haut à gauche jusqu'au coin en bas à droite. Par exemple, la matrice carré d'ordre 2, qui suit a des 1...) sont nulles :

A = (a_{i,j}) = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} &  \cdots & \cdots & a_{1,n}\\ 0 & a_{2,2} &   &   & a_{2,n}\\ \vdots & \ddots & \ddots &   & \vdots\\ \vdots &   & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_{n,n}\\ \end{bmatrix}

A est triangulaire supérieure ssi :

\forall i>j,\quad a_{i,j}=0

Matrices triangulaires inférieures

Ce sont les matrices carrées dont les valeurs au-dessus de la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés possède diagonales.) principale sont nulles :

A = (a_{i,j}) = \begin{bmatrix} a_{1,1} & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \ddots &   & \vdots\\ \vdots &   & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots &   &   & \ddots & 0\\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & \cdots & a_{n,n}\\ \end{bmatrix}

A est triangulaire inférieure ssi :

\forall i<j,\quad a_{i,j}=0

Propriétés des matrices triangulaires

  • Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire (En algèbre linéaire, les matrices triangulaires sont des matrices carrées dont une partie triangulaire des valeurs, délimitée par la diagonale principale, est nulle.) supérieure.
  • La transposée d'une matrice triangulaire supérieure est une triangulaire inférieure, et vice-versa.
  • Une matrice triangulaire A est inversible si et seulement si tous ses termes diagonaux sont non nuls. Dans ce cas, son inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y...) est aussi une matrice triangulaire (supérieure si A était supérieure, inférieure sinon).
  • Les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont ses termes diagonaux.
  • Si A est une matrice triangulaire d'ordre n alors le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit de ses éléments diagonaux :
\det{(A)} = \prod_{i=1}^n a_{i,i}
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