Matrice symétrique - Définition

Définitions

• En algèbre linéaire, une matrice symétrique est une matrice qui est égale à sa propre transposée. Ainsi A est symétrique si :

ce qui exige que A soit une matrice carrée.

Intuitivement, les coefficients d'une matrice symétrique sont symétriques par rapport à la diagonale principale (du coin en haut à gauche jusqu'à celui en bas à droite).

Exemple :

• L'ensemble des matrices symétriques à coefficients dans un anneau K est noté S_n(K).
• Toute matrice diagonale est symétrique, puisque tous les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls.
• Un théorème fondamental concernant de telles matrices est le théorème spectral en dimension finie, qui énonce que les matrices symétriques dont les coefficients sont des nombres réels sont diagonalisables à l'aide de matrices orthogonales.
• Remarque : il existe des matrices symétriques non diagonalisables à coefficients complexes. Exemple :

En effet, cette matrice admet 0 comme seule valeur propre ; si elle était diagonalisable, elle serait nulle.

Interprétations

• En algèbre bilinéaire, une matrice représentant une forme bilinéaire est symétrique ssi cette dernière est symétrique.
• Dans un espace euclidien, une matrice représentant un endomorphisme dans une base orthonormée est symétrique ssi l'endomorphisme est autoadjoint.

Matrices symétriques positives

Définitions

• Une matrice symétrique réelle est positive si et seulement si elle représente une forme bilinéaire positive.
• L'ensemble des matrices symétriques positives d'ordre n est noté
• Autrement dit :

• Une matrice symétrique réelle est strictement positive si et seulement si elle représente une forme bilinéaire strictement positive.
• L'ensemble des matrices symétriques strictement positives d'ordre n est noté
• En clair,

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Propriétés

• Une matrice symétrique est positive si et seulement si ses valeurs propres (qui sont automatiquement réelles) sont positives.
• Une matrice symétrique est strictement positive si et seulement si ses valeurs propres sont strictement positives.
• Pour toute matrice réelle A, la matrice ^tAA est une matrice symétrique positive. De plus si A est une matrice carrée inversible, ^tAA est strictement positive.
• Toute matrice symétrique positive admet une unique racine carrée symétrique positive, en clair :

.

Ce résultat se généralise aux racine nièmes.

Utilisations concrètes

• Une matrice symétrique de dimension 3 représente une conique en coordonnées homogènes dans un plan projectif construit à partir de .