Matrice symétrique - Définition

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Définitions

En algèbre linéaire, une matrice symétrique est une matrice qui est égale à sa propre transposée. Ainsi A est symétrique si :

${}^tA = A\,$

ce qui exige que A soit une matrice carrée.

Intuitivement, les coefficients d'une matrice symétrique sont symétriques par rapport à la diagonale principale (du coin en haut à gauche jusqu'à celui en bas à droite).

Exemple :

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 0 & 5\\ 3 & 5 & 6\end{pmatrix}$

L'ensemble des matrices symétriques à coefficients dans un anneau K est noté $S n (K)$ .
Toute matrice diagonale est symétrique, puisque tous les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls.
Un théorème fondamental concernant de telles matrices est le théorème spectral en dimension finie, qui énonce que les matrices symétriques dont les coefficients sont des nombres réels sont diagonalisables à l'aide de matrices orthogonales.
Remarque : il existe des matrices symétriques non diagonalisables à coefficients complexes. Exemple :

$\begin{pmatrix} 1 & i\\ i & -1\end{pmatrix}$

En effet, cette matrice admet 0 comme seule valeur propre ; si elle était diagonalisable, elle serait nulle.

Interprétations

En algèbre bilinéaire, une matrice représentant une forme bilinéaire est symétrique ssi cette dernière est symétrique.
Dans un espace euclidien, une matrice représentant un endomorphisme dans une base orthonormée est symétrique ssi l'endomorphisme est autoadjoint.

Matrices symétriques positives

Définitions

Une matrice symétrique réelle est positive si et seulement si elle représente une forme bilinéaire positive.
L'ensemble des matrices symétriques positives d'ordre n est noté $S_n^+(\R)$
Autrement dit :

$\forall S\in S_n(\R),\ S\in S_n^+(\R) \iff \forall X\in\mathcal M_{n,1}(\R),\ ^tXSX\ge 0$

Une matrice symétrique réelle est strictement positive si et seulement si elle représente une forme bilinéaire strictement positive.
L'ensemble des matrices symétriques strictement positives d'ordre n est noté $S_n^{++}(\R)$
En clair,

$\forall S\in S_n(\R),\ S\in S_n^{++}(\R) \iff \forall X\in\mathcal M_{n,1}(\R)\setminus\{0\},\ ^tXSX width=$ 0" />

Propriétés

Une matrice symétrique est positive si et seulement si ses valeurs propres (qui sont automatiquement réelles) sont positives.
Une matrice symétrique est strictement positive si et seulement si ses valeurs propres sont strictement positives.
Pour toute matrice réelle $A$ , la matrice $t A A$ est une matrice symétrique positive. De plus si $A$ est une matrice carrée inversible, $t A A$ est strictement positive.
Toute matrice symétrique positive admet une unique racine carrée symétrique positive, en clair :

$\forall S\in S_n^+(\R),\ \exist ! T\in S_n^+(\R),\ T^2=S$ .

Ce résultat se généralise aux racine nièmes.

Utilisations concrètes

Une matrice symétrique de dimension 3 représente une conique en coordonnées homogènes dans un plan projectif construit à partir de $\mathbb C^3\, \backslash\, \{(0,0,0)\}$ .