Matrice définie positive - Définition

En algèbre linéaire, la notion de matrice définie positive est analogue à celle de nombre réel strictement positif.

On introduit tout d'abord les notations suivantes ; si a est une matrice à éléments réels ou complexes :

• a^T désigne la transposée de a
• a ^* désigne la matrice transconjuguée de a (conjuguée de la transposée)

On rappelle que :

• désigne le corps des nombres réels
• désigne le corps des nombres complexes

Matrice symétrique réelle définie positive

Soit M une matrice symétrique réelle d'ordre n. Elle est dite définie positive si elle vérifie l'une des 3 propriétés équivalentes suivantes :

1.	Pour toute matrice colonne non nulle à n éléments réels, on a 0" >.
2.	Toutes les valeurs propres de M sont strictement positives, c'est-à-dire : .
3.	La forme bilinéaire symétrique définie par la relation est un produit scalaire sur (identifié ici à l'espace vectoriel des matrices colonnes à n éléments réels).

Une matrice symétrique réelle est dite définie négative si son opposée (symétrique elle aussi) est définie positive.

La propriété 1 signifie que M définit une une forme quadratique définie positive, la propriété 2 que sur , vu comme espace euclidien avec le produit scalaire =\sum_{i=1}^nx_iy_i" >, M définit un opérateur auto-adjoint positif. L'équivalence entre 1 et 2 vient de cette double interprétation, à la lumière de la réduction de Gauss et du théorème spectral. Si 1 est vraie, sachant que les valeurs propres d'une matrice symétrique réelle sont réelles, on voit en appliquant 1 aux vecteurs propres que les valeurs propres sont strictement positives. Si 2 est vraie, il existe une matrice orthogonale telle que soit diagonale (parce que est symétrique réelle) à coefficients diagonaux positifs (c'est l'hypothèse 2 sur les valeurs propres). Mais comme Q ^{− 1} = ^tQ, la matrice est aussi congrue à la matrice diagonale en question, donc la forme quadratique est définie positive.

Exemple : matrice de Hilbert

On appelle matrice de Hilbert la matrice (symétrique d'ordre n) , telle que . Elle est définie positive.

En effet, soit une matrice colonne quelconque à n éléments réels .

On remarque que . Alors, par linéarité de l'intégrale :

,

d'où enfin : .

Dans cette dernière intégrale, l'intégrande est continu et à valeurs positives. Par conséquent :

•  ;
• si , alors pour tout .

Donc pour tout .

Il en résulte que les , coefficients d'un polynôme admettant une infinité de racines, sont tous nuls, c'est-à-dire .

Ceci prouve que 0" > pour toute matrice colonne non nulle à n éléments réels.

Nota : ceci est un cas particulier d'une propriété des matrices de Gram. La matrice de Gram d'une famille de n vecteurs d'un espace préhilbertien (réel ou complexe) est définie positive si et seulement si la famille est libre.,

Matrice hermitienne définie positive

On étend les propriétés et définitions précédentes aux matrices complexes hermitiennes.

Soit M une matrice hermitienne d'ordre n. Elle est dite définie positive si elle vérifie l'une des 4 propriétés équivalentes suivantes :

1.	Pour toute matrice colonne non nulle à n éléments complexes, on a 0" >.
2.	Toutes les valeurs propres de M sont strictement positives, c'est-à-dire : .
3.	La forme sesquilinéaire définie par la relation est un produit scalaire sur (identifié ici à l'espace vectoriel des matrices colonnes à n éléments complexes).

Une matrice hermitienne est dite définie négative si son opposée (hermitienne elle aussi) est définie positive.

Propriétés

Les propriétés suivantes sont communes aux matrices symétriques réelles et aux matrices complexes hermitiennes.

1. Toute matrice définie positive est inversible (à déterminant réel strictement positif), et son inverse est elle aussi définie positive.
2. Si M est définie positive et r est un nombre réel strictement positif, alors rM est définie positive.
3. Si M et N sont définies positives, alors M + N est définie positive.
4. Si M et N sont définies positives, et si MN = NM (on dit qu'elles commutent), alors MN est définie positive.
5. Une matrice M est définie positive si et seulement s'il existe une matrice définie positive A telle que A² = M ; dans ce cas, la matrice définie positive A est unique, et on peut la noter A = M^{1 / 2}

Critère de Sylvester

Pour qu'une matrice , symétrique réelle ou complexe hermitienne, soit définie positive, il faut et suffit que les les n matrices aient leur déterminant strictement positif.