En topologie, la continuité uniforme est une définition plus contraignante que la continuité, et se définit dans les espaces métriques ou les espaces uniformes. Contrairement à la continuité, la continuité uniforme n'est pas une notion " purement topologique " c'est-à-dire ne faisant intervenir que des ouverts : sa définition dépend de la distance ou de la structure uniforme.

Continuité uniforme dans un espace métrique

Définition

Soient et deux espaces métriques, et une application de vers .

On dira que est uniformément continue si et seulement si :

0 ,\ \exists \eta > 0 \ / \ \forall(x,y)\in E\times E, \ d(x,y) < \eta \ \Rightarrow \ \delta(f(x),f(y)) <\varepsilon \,\!" >

NB: La continuité " simple " de s'écrit par comparaison :

0 ,\ \exists \eta > 0 \ / \ \forall y \in E, \ d(x,y) < \eta \ \Rightarrow \ \delta(f(x),f(y)) <\varepsilon \,\!" >

On comprend alors le sens du mot " uniforme " : le choix de en fonction de ne dépend pas du point considéré, il est uniforme sur .

• Cas des fonctions d'une variable réelle et à valeurs réelles

Dans le cas où l'espace de départ et l'espace d'arrivée sont des intervalles de munis de la norme valeur absolue, la définition s'écrit :

0 ,\ \exists \eta > 0 \ / \ \forall(x,y)\in E\times E, \ |x-y| < \eta \ \Rightarrow \ |f(x)-f(y)| < \varepsilon \,\!" >

Exemples

Exemple 1  :

est uniformément continue ; en effet :

Soit 0 \,\!" >. Comme la fonction est concave on a pour tous  :

.

Posons alors  ; si vérifient alors :

, ce qu'il fallait démontrer.

Exemple 2 :

n'est pas uniformément continue ; en effet, montrons que :

0,\ \forall \eta > 0,\ \exists (x,y) \in \R_+ \times \R_+ \ , |x-y| \leq \eta \ et \ |f_2(x)-f_2(y)|>\varepsilon \,\!" >.

En fait convient. Pour n'importe quel 0 \,\!" > on choisit et . Alors et \varepsilon \,\!" >, ce qu'il fallait démontrer.

Résultats importants

Fonctions lipschitziennes

Soit un intervalle quelconque de . Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue.

En particulier, si est dérivable et de dérivée bornée sur , alors est uniformément continue.

Théorème de Heine

Soient et deux espaces métriques, et une application continue .

Si est compact, alors est uniformément continue.

En particulier, toute fonction continue sur le segment de est uniformément continue.

Prolongement par continuité

Toute fonction uniformément continue à valeurs réelles se prolonge par continuité sur l' adhérence de son espace de départ. Cette propriété est utilisée parfois pour définir des fonctions importantes comme l'intégrale ou l'exponentielle.

Intérêt de la notion d'uniforme continuité

Approximation uniforme des fonctions continues par les fonctions en escalier

Soit f une fonction continue sur un segment [a,b] et soit 0" >. Alors il existe une fonction en escalier sur [a,b], telle que :

On utilise pour cela le fait que f est en fait uniformément continue (théorème de Heine), et on découpe l'intervalle [a,b] en n sous-intervalles de longueur inférieure au η intervenant dans la définition de l'uniforme continuité. On montre alors que la fonction valant f(a + k(b − a) / n) sur l'intervalle [a + k(b − a) / n,a + (k + 1)(b − a) / n] convient.

Définition de l'intégrale de Riemann

Soit E l'espace vectoriel des fonctions bornées sur l'intervalle [a,b], muni de la norme de la convergence uniforme. Soit F le sous-espace des fonctions en escalier sur [a,b]. Il est aisé de définir l'intégrale d'une telle fonction en escalier , au moyen d'une somme finie si est constante égale à sur l'intervalle ]a_i,a_{i + 1}[, les a_i constituant une subdivision de [a,b]. On montre alors que I est une fonction lipschitzienne sur F, donc uniformément continue, donc se prolonge à l'adhérence de F dans E. Cette adhérence constitue l'espace des fonctions réglées, et contient les fonctions continues. On a défini ainsi l'intégrale de Riemann des fonctions réglées.

Approximation des fonctions continues par les polynômes

Soit f une fonction bornée sur [0,1]. Considérons la suite de polynômes :

Si f est continue en x, on montre que la suite (P_n(x)) converge vers f(x). Mais si f est continue sur [0,1] et donc uniformément continue, on montre que la suite (P_n) converge uniformément vers f sur [0,1]. Ce résultat constitue une version constructive du théorème de Weierstrass.

Image d'une suite de Cauchy

Soient E et F deux espaces métriques, et une application de vers .

Si f est continue, alors l'image par f d'une suite convergente de E est une suite convergente de F.

Mais si f est uniformément continue, alors l'image par f d'une suite de Cauchy de E est une suite de Cauchy de F. Cette propriété est cruciale pour le théorème de prolongement des fonctions uniformément continues cité plus haut, et permet de le généraliser aux fonctions uniformément continues à valeurs dans un espace complet