Conjecture de Poincaré - Définition
La conjecture de Poincaré est, en mathématiques, une conjecture portant sur la caractérisation de la sphère à trois dimensions.
Jusqu'à l'annonce de sa résolution par Grigori Perelman en 2003, il s'agissait d'un problème de topologie non résolu. Il est considéré par la communauté des spécialistes comme le plus important de cette branche des mathématiques et est sans doute l'un des problèmes les plus connus. Il fait partie des sept problèmes du Prix du millénium listés en 2000 par l'Institut de mathématiques Clay.
Historique
Formulation
La conjecture fut formulée pour la première fois par Henri Poincaré en 1904, et s'énonce ainsi :
- " Considérons une variété compacte V simplement connexe, à 3 dimensions, sans bord. Alors V est homéomorphe à une hypersphère de dimension 3. "
Poincaré ajouta, avec beaucoup de clairvoyance, un commentaire : " mais cette question nous entraînerait trop loin ".
Précisément, la question est de savoir si toute variété de dimension 3 fermée, simplement connexe et sans bord est homéomorphe à une sphère. Plus grossièrement, si " un objet à trois dimensions " donné possède les mêmes propriétés que celles d'une sphère (notamment que toutes les boucles de celui-ci peuvent être resserrées en un point), alors il est juste une " déformation " d'une sphère tridimensionnelle (la sphère ordinaire, surface dans — l'espace ordinaire —, possède seulement deux dimensions).
Notons que ni la sphère ni un autre espace tridimensionnel dépourvu de frontière autre que 
(l'espace ordinaire) ne peuvent être dessinés proprement comme objets dans l'espace ordinaire à trois dimensions. C'est l'une des raisons pour lesquelles il est difficile de visualiser mentalement le contenu de la conjecture.
Un long chemin vers sa résolution
En l'an 2000, l'Institut de mathématiques Clay a mis à prix la conjecture de Poincaré et offre un prix d'un million de dollars pour sa solution, ce qui en fait l'un des sept problèmes les plus recherchés du millénaire.
La conjecture a induit une longue liste de preuves incorrectes et certaines d'entre elles ont mené à une meilleure compréhension de la topologie en petites dimensions.
Progrès récents
Vers la fin de l'année 2002, des publications sur l'arXiv de Grigori Perelman de l'institut de mathématiques Steklov de Saint-Pétersbourg laissent penser qu'il pourrait avoir trouvé une preuve de la " conjecture de géométrisation " (voir plus ci-dessous), mettant en œuvre un programme décrit plus tôt par Richard Hamilton. En 2003, il publia un deuxième rapport et donna une série de conférences aux États-Unis. En 2006, un consensus d'experts a conclu que le travail récent de Grigori Perelman en 2003 résolvait ce problème, plus d'un siècle après son premier énoncé. Cette reconnaissance a été annoncée officiellement lors du congrès international de mathématiques le 22 Août 2006 à Madrid au cours duquel la médaille Fields lui a été décernée conjointement avec trois autres mathématiciens. Cependant Perelman a refusé la médaille et la somme qui l'accompagne. Perelman a également refusé le prix Clay.
Éléments liés à la preuve de la conjecture
Sa résolution est liée au problème de classification des variétés de dimension 3. Une classification des variétés de dimension 3 est généralement considérée comme la production d'une liste de toutes les variétés de dimension 3 à un homéomorphisme près (sans répétition). Une telle classification est équivalente à un algorithme de reconnaissance, qui pourrait vérifier si deux variétés de dimension 3 sont homéomorphes ou pas.
On peut considérer la conjecture de Poincaré comme un cas particulier de la conjecture de géométrisation de Thurston formulée vers la fin des années 1970. Cette dernière conjecture, si elle était prouvée, achèverait la question de classification des variétés de dimension 3. Les seules parties de la conjecture de géométrisation qu'il reste à démontrer, sont appelées la conjecture d'" hyperbolisation " et la conjecture d'" elliptisation ".
La conjecture d'" elliptisation " déclare que toute variété de dimension 3 fermée ayant un groupe fondamental fini, a une géométrie sphérique, c'est-à-dire est couverte par la 3-sphère. La conjecture de Poincaré correspond au cas où le groupe fondamental est trivial.
Problèmes mathématiques reliés
Des conjectures analogues à celles de Poincaré dans des dimensions autres que 3 peuvent également être formulées:
- toute variété compacte de dimension n qui est homotopiquement équivalente à la sphère unité est homéomorphe à la sphère unité.
La conjecture de Poincaré donnée précédemment apparaît comme le cas particulier n=3.
La difficulté de la basse dimension en topologie est accentuée par le fait que tous les résultats analogues ont maintenant été prouvés :
- en dimension n=4 de loin la plus difficile, par Freedman en 1982 ;
- en dimension n=5, par Zeeman en 1961 ;
- en dimension n=6, par Stallings en 1962 ;
- pour n≥7 par Smale en 1961 (il étendit sa démonstration à tout n≥5).
alors que la version à trois dimensions originale de la conjecture de Poincaré demeurait sans solution.