Matrice de Vandermonde - Définition

En algèbre linéaire, une matrice de Vandermonde est une matrice avec une progression géométrique dans chaque ligne. Elle tient son nom d'Alexandre-Théophile Vandermonde.

Présentation

De façon matricielle, elle se présente ainsi :

( pour tout i et j)

(Certains auteurs utilisent la transposée de la matrice ci-dessus.)

Inversibilité

On considère une matrice V de Vandermonde carrée (m = n). Elle est inversible si et seulement si les α_i sont deux à deux distincts.

Demonstration

Si deux coefficients α_i sont identiques, la matrice a deux lignes identiques, donc n'est pas inversible.

Pour la réciproque, on peut procéder au calcul du déterminant, ce qui sera fait dans le prochain paragraphe.

Une preuve d'inversibilité plus rapide est cependant de considérer V comme la matrice du système linéaire homogène VX=0 pour X de composantes x₀, ... x_n-1

Mais en introduisant le polynôme

On voit que si X vérifie l'équation VX=0, alors P admet n racines distinctes, soit plus que son degré. Donc P est nul, et ainsi X=0. Ce qui prouve que V est inversible.

Déterminant

Le déterminant d'une matrice de Vandermonde (m = n dans ce cas) peut s'exprimer ainsi:

Démonstrations

Il suffit d'exécuter l'opération élémentaire C_i ← (sur les colonnes, en partant de C_n et en remontant jusqu'à C₂).

Le déterminant reste inchangé puisque: detU_i,j(λ) = 1 et devient :

En développant selon la première ligne, il vient tout naturellement :

C’est-à-dire :

Par récurrence immédiate, on retrouve le résultat annoncé

Autre démonstration

Le déterminant de la matrice est clairement un polynôme en . De plus ce déterminant s'annule lorsque 2 des nombres sont égaux (puisqu'il y alors 2 lignes identiques). Par suite ce déterminant est égal à

où est lui-même un polynôme.

Cependant le degré en du déterminant est n − 1 (il suffit d'imaginer le développement selon la dernière colonne). Comme le degré du terme sous forme de produit est aussi n − 1, est une constante relativement à . Il en est de même vis-à-vis de toutes les variables, donc c'est une constante que nous désignerons par k_n.

Démontrons alors par récurrence que k_n = 1 pour tout n. Ceci est évidemment vrai pour n = 1 et 2. D'autre part si cette affirmation est vraie jusque n − 1, calculons de 2 manières le coefficient du terme de plus haut degré (n-1) en a_n du déterminant . D'une part en développant selon la dernière colonne nous obtenons (cofacteur de ) et d'autre part avec la formule que nous venons d'établir et l'hypothèse de récurrence

D'où il résulte bien que k_n = 1.

Ceci achève la démonstration.