Inégalité de Cauchy-Schwarz - Définition

En mathématiques, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, aussi appelée inégalité de Schwarz, ou encore inégalité de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, se rencontre dans de nombreux domaines tels que l'algèbre linéaire avec les vecteurs, l'analyse avec les séries et en intégration avec les intégrales de produits.

L'inégalité s'énonce de la façon suivante :

Pour tous x et y éléments d'un espace préhilbertien réel ou complexe

Les deux membres sont égaux si et seulement si x et y sont linéairement dépendants.

Conséquences

Une conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schwarz est que le produit scalaire est une fonction continue.

Dans le cas de l'espace euclidien muni du produit scalaire canonique, l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit :

Dans le cas des fonctions à valeurs complexes de carré intégrable, l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit :

Ces deux dernières formulations sont généralisées par l'inégalité de Hölder.

Démonstration

Démontrons le résultat dans le cas d'un préhilbertien complexe.

Inégalité

Pour tout couple de vecteurs (x,y), par définition du produit scalaire hilbertien et de la norme associée:

On note que la dernière inégalité a un sens car est une quantité réelle (propriété élémentaire de la conjugaison). On l'a majorée par sa valeur absolue (module) et on lui a appliqué l'inégalité triangulaire dans .

Ainsi, le polynôme à coefficients réels d'inconnue X, est positif sur d'après la relation précédente. Il ne peut donc pas avoir deux racines réelles distinctes. Ceci implique que son discriminant est négatif. On obtient:

Ce qui entraîne bien l'inégalité annoncée.

Cas d'égalité

Si les vecteurs x et y sont liés, on peut sans perte de généralité supposer que . On en déduit immédiatement:

Réciproquement, supposons qu'on ait l'égalité Si y=0, les vecteurs sont liés. Si y 0, le polynôme ci-dessus s'écrit :

Il admet pour racine réelle double , d'où , puis x + t₀y = 0. D'où le résultat.

Cas réel

Dans le cas d'un espace réel la démonstration est analogue. On peut aussi proposer une preuve légèrement différente :

La preuve pour y = 0 est triviale, on considère donc . Pour on a :

Prenons de sorte que :

Ainsi

Puis

Cette preuve peut facilement être adaptée au cas complexe.