Jeudi 18 Avril 2024
Mathématiques

Procédé de Gram-Schmidt - Définition

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
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En algèbre linéaire, le procédé de Gram-Schmidt est une méthode pour orthonormaliser une famille libre de vecteurs d'un espace vectoriel muni d'un produit scalaire.

À partir d'une famille libre (v_1,...,v_n) \,, on construit une famille orthonormale (e_1,...,e_n) \, qui engendre les mêmes espaces vectoriels successifs :

pour tout j inférieur à n, F_j=\mathrm{Vect}(e_1, \dots, e_j)=\mathrm{Vect}(v_1, \dots, v_j).

L'étape générale de l'algorithme consiste à soustraire au vecteur vj + 1 sa projection orthogonale sur l'espace Fj. On s'appuie sur la famille orthonormale déjà construite pour le calcul de projection.

Le procédé peut également être appliqué à une famille libre de vecteurs indexée par \mathbb{N}.

Cette méthode a été nommée en hommage à Jørgen Pedersen Gram et Erhard Schmidt, mais elle est plus ancienne, et est retrouvée dans des travaux de Laplace et Cauchy.

Procédé de Gram-Schmidt

Nous définissons l'opérateur de projection sur une droite vectorielle par :

\mathrm{proj}_{\mathbf{u}}\,\mathbf{v} = {\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle\over\langle \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle}\mathbf{u}.

Le procédé de Gram-Schmidt est alors :

\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1, \mathbf{e}_1 = {\mathbf{u}_1 \over ||\mathbf{u}_1||}
\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}\,\mathbf{v}_2, \mathbf{e}_2 = {\mathbf{u}_2 \over ||\mathbf{u}_2||}
\mathbf{u}_3 = \mathbf{v}_3-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}\,\mathbf{v}_3-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_2}\,\mathbf{v}_3, \mathbf{e}_3 = {\mathbf{u}_3 \over ||\mathbf{u}_3||}
\vdots \vdots
\mathbf{u}_k = \mathbf{v}_k-\sum_{j=1}^{k-1}\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_j}\,\mathbf{v}_k, \mathbf{e}_k = {\mathbf{u}_k\over||\mathbf{u}_k||}
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