Forme quadratique - Définition et Explications

En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux avec un nombre quelconque de variables. Par exemple, la distance comprise entre deux points dans un espace euclidien à trois dimensions s'obtient en calculant la racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x½; dans cette...) d'une forme quadratique (En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux avec un nombre quelconque de variables. Par exemple, la distance...) impliquant six variables qui sont les trois coordonnées de chacun des deux points.

Les formes quadratique d'une, deux et trois variables sont données par les formules suivantes :

F(x) = ax^2\,
F(x,y) = ax^2 + by^2 + 2cxy\,
F(x,y,z) = ax^2 + by^2 + cz^2 + 2dxy + 2exz + 2fyz\,

Forme quadratique sur un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.)

Soit un espace vectoriel V sur un corps F. Pour l'instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être considéré comme une durée.), nous supposons que F possède une caractéristique différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à l'aide de la trace, dans l'anneau des entiers...) de 2. C'est le cas, en particulier, pour les corps réels et complexes qui sont de caractéristique 0. Le cas où la caractéristique vaut 2 sera traité séparément.

Une application Q : V \to  F est appelée forme quadratique sur V s'il existe une forme bilinéaire (En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, une forme bilinéaire est un type particulier d'application qui, à deux...) symétrique B : V \times V \to F telle que

Q(u) = B(u,u)\, \forall u \in V\,

B est appelée la forme bilinéaire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est bilinéaire si et seulement si elle est linéaire en chacune de ses variables,...) associée. Notons que pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer...) u,v \in V\,

Q(u + v) = Q(u) + 2B(u,v) + Q(v)\,

donc nous pouvons retrouver la forme bilinéaire B à partir de Q :

B(u,v) = \frac{1}{2}\left(Q(u+v) - Q(u) - Q(v)\right)

C'est un exemple de polarisation d'une forme algébrique. Il existe alors une correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le terme désigne des échanges de courrier personnels plutôt qu'administratifs.) bijective entre les formes quadratiques sur V et les formes bilinéaires symétriques sur V. À partir d'une forme donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.), nous pouvons définir de manière unique l'autre forme.

Si V est de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) n, nous pouvons écrire la forme bilinéaire B comme une matrice symétrique (ce qui exige que A soit une matrice carrée.) B relative à une certaine base \{e_i\}\, pour V. Les composantes de B sont données par B_{ij} = B(e_i,e_j)\,. La forme quadratique Q est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par

Q(u) = \mathbf{u}^T \mathbf{Bu} = \sum_{i,j=1}^{n}B_{ij}u^i u^j

u^i\, sont les composantes de u dans cette base. Notons que Q(u) est un polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils...) homogène de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) deux en coordonnées de u, conformément à notre définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de départ.

Quelques autres propriétés des formes quadratiques :

  • Q(au) = a^2 Q(u)\, \forall a \in F et u \in V
  • Q obéit à la loi du parallélogramme :
Q(u+v) + Q(u-v) = 2Q(u) + 2Q(v)\,
  • Les vecteurs u et v sont orthogonaux par rapport à B ssi
Q(u+v) = Q(u) + Q(v)\,

Cas de corps de caractéristique deux

La théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance...) des formes quadratiques de caractéristique deux possède une petite saveur différente, essentiellement parce que la division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce...) par 2 n'est pas possible. Il n'est plus vrai non plus que chaque forme quadratique est de la forme Q(u) = B(u,u) pour une forme bilinéaire symétrique B. En outre, même si B existe, elle n'est pas unique : puisque les formes alternées sont aussi symétriques en caractéristique deux, on peut ajouter toute forme alternée à B et obtenir la même forme quadratique.

Une définition plus générale d'une forme quadratique qui marche (La marche (le pléonasme marche à pied est également souvent utilisé) est un mode de locomotion naturel. Il consiste en un déplacement en...) pour toute caractéristique est la suivante. Une forme quadratique d'un espace vectoriel V sur un corps F est comme une application Q : V \rightarrow  F telle que

  • Q(au) = a^2 Q(u)\, \forall a \in F et u \in V, et
  • Q(u+v) - Q(u) - Q(v)\, est une forme bilinéaire sur V.

Généralisations

On peut généraliser la notion de forme quadratique à des modules sur un anneau commutatif. Les formes quadratiques entières sont importantes en théorie des nombres et topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).).

Articles de mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...) en rapport avec l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon...) bilinéaire
Espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de généraliser de façon naturelle la géométrie traditionnelle...) | Forme bilinéaire | Forme quadratique | Forme sesquilinéaire | Orthogonalité (En mathématiques, l'orthogonalité est un concept d'algèbre linéaire associé à une forme bilinéaire. Un cas fréquent est celui où cette forme est un produit scalaire.) | Base orthonormale (Soit En un espace vectoriel euclidien de dimension n, où n est un entier naturel non nul, et , une base de En.) | Projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une...) orthogonale | Inégalité de Cauchy-Schwarz (En mathématiques, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, aussi appelée inégalité de Schwarz, ou encore inégalité de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, se rencontre dans de nombreux domaines tels...) | Inégalité de Minkowski | Matrice définie positive (En algèbre linéaire, la notion de matrice définie positive est analogue à celle de nombre réel strictement positif.) | Matrice semi-définie positive | Décomposition QR (En algèbre linéaire, la décomposition QR (appelée aussi, décomposition QU) d'une matrice A est une décomposition de la forme) | Déterminant de Gram | Hermitien (Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite.) | Espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit scalaire ou hermitien par la formule . C'est la...) | Base de Hilbert (Une base de Hilbert ou encore base hilbertienne est une généralisation aux espaces de Hilbert de la notion classique de base orthonormée en algèbre linéaire, pour les espaces euclidiens (ou hermitiens dans le cas complexe) de...) | Théorème spectral (En mathématiques, une quadrique désigne une surface d’un espace euclidien. Elle est définie par un polynôme du second degré dont les variables correspondent...) | Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à...) de Stampacchia | Théorème de Riesz (Au sein de la théorie des espaces vectoriels normés, le théorème de Riesz établit un lien entre la notion de compacité et celle de dimension.) | Théorème de Lax-Milgram | Théorème de représentation de Riesz
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