Espace vectoriel normé - Définition

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Un espace vectoriel normé est une des structures importantes rencontrées en analyse, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle. Développée notamment par David Hilbert et Stefan Banach, cette notion se définit souvent sur le corps des nombres réels ou complexes, mais la définition s'étend sur tout corps muni d'une valeur absolue.

Formellement, un espace vectoriel normé sur un corps K muni d'une valeur absolue est la donnée d'un K-espace vectoriel E et d'une application E\rightarrow K:e\mapsto \|e\| appelée norme vérifiant :

  • Séparation : Pour tout e dans E, on a : \|e\|=0 ssi e = 0 ;
  • Homogénéité : Pour tout r dans K et pour tout e dans E, \|re\|=|r|\cdot\|e\| ;
  • Inégalité triangulaire : Pour tout e, f on a : \|e+f\|\leq\|e\|+\|f\|.

Dans le cas oû K=R ou C, la notation | r | désigne la valeur absolue ou le module.

Topologie d'un espace vectoriel normé

On peut, à partir de la norme \|\cdot\| sur l'espace vectoriel E , construire une distance d, définie par :

\forall x \in E, \forall y \in E, d(x,y)=\|x-y\|

On vérifie aisément que les trois axiomes qui définissent une distance sont vérifiés. De plus, la distance est invariante par translation, et homogène, au sens où :

\forall x \in E, \forall y \in E, \forall z \in E,\, d(x +z,\, y + z)= d(x,\, y),
\forall x \in E, \forall y \in E, \forall r \in K,\, d(rx,\, ry)= |r|\cdot d(x,\, y),

L'espace E est alors muni de la topologie associée à cette distance. C'est bien évidemment un espace topologique sur le corps topologique K.

Si K est le corps des réels ou des complexes, les boules forment une base de voisinages convexes de 0 : E est alors un espace vectoriel topologique localement convexe sur K.

Un espace vectoriel topologique localement convexe sur K est dit normalisable si sa topologie peut être définie par une norme. Il existe, y compris sur R ou sur C de nombreux exemples d'espaces vectoriels topologiques localement convexes séparés intéressants mais non normalisables, par exemple parce qu'ils ne sont pas localement convexes.

Un espace vectoriel normé réel ou complexe complet (pour la distance associé) est appelé espace de Banach.

Exemples

Espaces normés de dimension finie

Normes canoniques sur Kn

L'ensemble des vecteurs de norme 1 dans R2 pour différentes normes

L'espace \mathbb K^n possède plusieurs normes remarquables pour lesquelles existent des notations traditionnelles.

Norme-1
Soit \ (x_1,\dots,x_n)\in\mathbb C^n: \|x\|_1=\sum_{i=1}^n |x_i|. D'où :
\forall (a,b)\in\mathbb R^2:\|(a,b)\|_1=|a|+|b|.
Norme-2
Soit \ (x_1,\dots,x_n)\in\mathbb K^n: \|x\|_2= \left (\sum_{i=1}^n |x_i|^2 \right )^{1/2}.
Dans \R^n, elle est la norme " euclidienne ", ou " canonique ". C'est la norme associée au produit scalaire de même nom. La distance associée à cette norme est la distance entre deux points dans le plan ou l'espace géométrique habituellement utilisée, et appelée elle aussi distance euclidienne.
\forall (a,b)\in\R^2:\|(a,b)\|_2=\left(a^2+b^2 \right)^{1/2}
Norme-infinie
Soit \ x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb K^n: \|x\|_\infty = \max_{i\in[1,\dots,n]}|x_i|
Norme-p
Soit \mathbb K^n, muni d'une quelconque des normes-p \|(x_1, x_2, \ldots, x_n)\|_p = \left ( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right  )^{1/p} avec p \geq 1.
C'est un espace vectoriel normé.

La notation \| \|_{\infty} est due au fait que\lim_{p\to+\infty} \|x\|_p =\|x\|_{\infty} L'inégalité triangulaire pour ces normes s'appelle l'inégalité de Minkowski, elle est une conséquence de résultats de convexité parmi lesquels l'inégalité de Hölder.

Autres espaces de dimension finie

Tout \mathbb K-espace vectoriel E de dimension finie n possède une norme.

En effet, E est isomorphe à \mathbb K^n. Soit u un isomorphisme de E vers \mathbb K^n et \mathcal N une norme de ce dernier. Alors N \circ u est une norme de E : u est linéaire, N est sous-linéaire donc N \circ u est sous-linéaire. De plus, N \circ u(x)=0_\R \Rightarrow u(x)=0_{\mathbb K} \Rightarrow x=0_E car u est injectif. Concrètement, on choisit en général une base de E et on utilise des normes de type norme 1, 2, infini, ou p vis-à-vis des coordonnées dans cette base.

Cercles carrés

Bertrand Russell aimait à donner comme exemple d'oxymore l'expression " cercle carré ". S'il s'agit bien d'un oxymore en géométrie euclidienne, les cercles carrés existent bel et bien lorsqu'on adopte par exemple la norme infinie. L'ensemble des points de norme 1 est un carré, et c est un cercle dans la mesure où tous leurs points sont à égale distance de l'origine. Pour la norme-1, on obtient un carré incliné à 45°.

Espaces normés de dimension infinie

  • L'ensemble \ell^p des suites complexes a=(a_n)_{n\in\mathbb N} telles que\ \sum a_n converge au sens de la norme-p:
\|a\|_p = \left ( \sum_{n=0}^{+\infty} |a_n|^p \right )^{1/p} < +\infty
  • \ell^{\infty} est l'ensemble des suites complexes bornées:
\|\|_\infty:\ell^\infty\to \mathbb R_+ , a \to \sup_{n \in\mathbb N} |a_n| en est la norme naturelle.
  • Le \mathbb C-espace vectoriel \ \mathcal C(\mathcal I,\mathbb C)des fonctions continues d'un compact \mathcal I de \mathbb R dans \mathbb Cest muni de la norme-p:
\ \|f\|_p = \left ( \int_I |f|^p \right )^{1/p}
et de la norme-infini :
\|f\|_\infty=\sup_I |f|
que l'on retrouve avec:
\ \lim_{p} \left ( \int_I |f|^p \right )^{1/p} =\sup_I |f|
On l'appelle également norme de la convergence uniforme.

Propriétés des espaces normés de dimension finie

Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur \mathbb{R}, sur \mathbb{C}, ou plus généralement sur un corps valué complet localement compact. alors :

  • Il n'existe qu'une seule topologie sur E qui en fasse un espace vectoriel topologique séparé, et cette topologie est normalisable ;
  • Pour cette topologie, E est homéomorphe à \mathbb{K}^n.
  • En particulier, toutes les normes sur E sont équivalentes ;
  • E est complet ;
  • Les parties compactes de E sont les fermés bornés ;
  • La boule unité (fermée) de E est compacte ;
  • Toute application linéaire de E dans un espace vectoriel normé quelconque est continue.

Théorème de Riesz

Si la boule unité (fermée) d'un espace vectoriel réel ou complexe normé E est compacte, alors E est de dimension finie.

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