Un espace vectoriel normé est une des structures importantes rencontrées en analyse, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle. Développée notamment par David Hilbert et Stefan Banach, cette notion se définit souvent sur le corps des nombres réels ou complexes, mais la définition s'étend sur tout corps muni d'une valeur absolue.
Formellement, un espace vectoriel normé sur un corps K muni d'une valeur absolue est la donnée d'un K-espace vectoriel E et d'une application appelée norme vérifiant :
Dans le cas oû K=R ou C, la notation | r | désigne la valeur absolue ou le module.
On peut, à partir de la norme sur l'espace vectoriel E , construire une distance d, définie par :
On vérifie aisément que les trois axiomes qui définissent une distance sont vérifiés. De plus, la distance est invariante par translation, et homogène, au sens où :
L'espace E est alors muni de la topologie associée à cette distance. C'est bien évidemment un espace topologique sur le corps topologique K.
Si K est le corps des réels ou des complexes, les boules forment une base de voisinages convexes de 0 : E est alors un espace vectoriel topologique localement convexe sur K.
Un espace vectoriel topologique localement convexe sur K est dit normalisable si sa topologie peut être définie par une norme. Il existe, y compris sur R ou sur C de nombreux exemples d'espaces vectoriels topologiques localement convexes séparés intéressants mais non normalisables, par exemple parce qu'ils ne sont pas localement convexes.
Un espace vectoriel normé réel ou complexe complet (pour la distance associé) est appelé espace de Banach.
L'espace possède plusieurs normes remarquables pour lesquelles existent des notations traditionnelles.
La notation est due au fait que L'inégalité triangulaire pour ces normes s'appelle l'inégalité de Minkowski, elle est une conséquence de résultats de convexité parmi lesquels l'inégalité de Hölder.
Tout -espace vectoriel E de dimension finie n possède une norme.
En effet, E est isomorphe à . Soit u un isomorphisme de E vers et une norme de ce dernier. Alors est une norme de E : u est linéaire, N est sous-linéaire donc est sous-linéaire. De plus, car u est injectif. Concrètement, on choisit en général une base de E et on utilise des normes de type norme 1, 2, infini, ou p vis-à-vis des coordonnées dans cette base.
Bertrand Russell aimait à donner comme exemple d'oxymore l'expression " cercle carré ". S'il s'agit bien d'un oxymore en géométrie euclidienne, les cercles carrés existent bel et bien lorsqu'on adopte par exemple la norme infinie. L'ensemble des points de norme 1 est un carré, et c est un cercle dans la mesure où tous leurs points sont à égale distance de l'origine. Pour la norme-1, on obtient un carré incliné à 45°.
Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur , sur , ou plus généralement sur un corps valué complet localement compact. alors :
Si la boule unité (fermée) d'un espace vectoriel réel ou complexe normé E est compacte, alors E est de dimension finie.