Espace vectoriel - Définition

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs est disponible ici.

En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.

Étant donné un corps (commutatif) K, un espace vectoriel E sur K est un groupe commutatif (dont la loi est notée +) munie d'une action compatible de K (voir la définition exacte). Les éléments de E sont appelés des vecteurs, et les éléments de K des scalaires.

Historique

Les premières traces de discussion concernant les espaces vectoriels $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$ peuvent se reconnaître dans les écrits des mathématiciens français Descartes et Fermat, vers 1636. Il était alors plutôt question de représentation graphique à partir des coordonnées que du concept de vecteur, encore inconnu.

Afin de parvenir à une résolution géométrique sans utiliser la notion de coordonnées, le mathématicien Bolzano introduisit en 1804 des opérations sur les points, droites et plans, lesquelles sont les précurseurs des vecteurs ^[1]. Ce travail trouve un écho dans la conception des coordonnées barycentriques ^[2] par Möbius en 1827. L'étape fondatrice de la définition des vecteurs fut la définition par Bellavitis du bipoint, qui est un segment orienté (une extrémité est une origine et l'autre un but). La relation d'équipollence, qui rend équivalents deux bipoints lorsqu'ils déterminent un parallélogramme, achève ainsi de définir les vecteurs.

D'autres exemples d'espaces vectoriels apparaissent avec la présentation des nombres complexes par Argand et Hamilton, puis celle des quaternions par ce dernier, comme des éléments des espaces vectoriels respectifs $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^4$ . Les systèmes linéaires, définis par Laguerre dès 1867, fournissent encore une série d'espaces vectoriels réels.

En 1857, Cayley introduisit la notation matricielle, qui permit d'harmoniser les notations et de simplifier l'écriture des applications linéaires entre espaces vectoriels. Il ébaucha également les opérations sur ces objets.

Vers la même époque, Grassmann reprit le calcul barycentrique ^[3] initié par Möbius en envisageant des ensembles d'objets abstraits munis d'opérations. Son travail dépassait le cadre des espaces vectoriels car, en définissant aussi la multiplication, il aboutissait à la notion d'algèbre. On y retrouve néanmoins les concepts de dimension et d'indépendance linéaire, ainsi que le produit scalaire apparu en 1844. La primauté de ces découvertes est disputée à Cauchy avec la publication de Sur les clefs algébrique dans les Comptes Rendus.

Le mathématicien italien Peano, dont une contribution importante a été l'axiomatisation rigoureuse des concepts existants — notamment la construction des ensembles usuels — a été un des premiers à donner une définition contemporaine du concept d'espace vectoriel, vers la fin du XIXe siècle ^[4].

Un développement important de ce concept est dû à la construction des espaces de fonctions par Lebesgue, construction qui a été formalisée au cours du XXe siècle par Hilbert et Banach, lors de sa thèse de doctorat en 1920.

C'est à cette époque que l'interaction entre l'analyse fonctionnelle naissante et l'algèbre se fait sentir, notamment avec l'introduction de concepts clés tels que les espaces de fonctions p-intégrables ou encore les espaces de Hilbert. C'est à cette époque qu'apparaissent les premières études sur les espaces vectoriels de dimension infinie.

Sources

MathPhysics
An Introduction to Linear Algebra, Leonid Mirsky - 1990
Introduction to Linear Algebra and Differential Equations, John Warren Dettman - 1986
(lien)

Définitions

Objet : espace vectoriel

Soit K un corps. On appelle K-espace vectoriel tout triplet (E,+,•) où :

E est un ensemble ;
(E,+) est un groupe abélien ;
• est une loi externe sur E à scalaire dans K telle que :
- l'élément unité " 1 " du corps K est neutre à gauche pour la loi " • " :
  $\forall\, u \in E , \quad 1 \cdot u = u \,$
- la loi • est distributive à gauche par rapport à l'addition + de E :
  $\forall\, \lambda \in \mathbb{K} , \ \forall\, u \in E , \ \forall\, v \in E , \quad \lambda \cdot ( u + v ) = ( \lambda \cdot u ) + ( \lambda \cdot v ) \,$
- La loi • est exodistributive à droite par rapport à l'addition du corps K :
  $\forall\, \lambda \in \mathbb{K} , \ \forall\, \mu \in \mathbb{K} , \ \forall\, u \in E , \quad ( \lambda + \mu ) \cdot u = ( \lambda \cdot u ) + ( \mu \cdot u ) \,$
- La loi • est exoassociative par rapport à la multiplication du corps K (elle l'" importe " dans l'espace vectoriel) :
  $\forall\, \lambda \in \mathbb{K} , \ \forall\, \mu \in \mathbb{K} , \ \forall\, u \in E , \quad ( \lambda . \mu ) \cdot u = \lambda \cdot ( \mu \cdot u ) \,$ .

Selon le corps K, on peut parler de K-espace vectoriel, espace vectoriel rationnel, réel ou complexe. Cette terminologie s'utilise notamment en analyse.

Des axiomes ci-dessus découlent les propriétés suivantes :

L'élément zéro " 0 " du corps K est exoabsorbant à gauche pour la loi • :
$\forall\, u \in E , \quad 0 \cdot u = 0_{E} \,$
L'élément neutre de l'addition vectorielle est absorbant à droite pour la loi • :
$\forall\, \lambda \in \mathbb{K} , \quad \lambda \cdot 0_{E} = 0_{E} \,$ .

Dans certains ouvrages, les vecteurs peuvent être notés surmontés d'une flèche ou écrits avec des lettres en gras.

Sous-espace vectoriel

Un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel E est un sous-groupe additif F de E stable par l'action de K. Dit autrement, la somme de deux éléments de F est un élément de F et le produit d'un scalaire par un vecteur de F appartient à F. En d'autres termes, on demande à ce que F soit stable par combinaison linéaire.

Une combinaison linéaire est une somme finie de vecteurs affectés de coefficients (scalaires). La somme d'une famille finie d'éléments d'un groupe abélien est connue. La combinaison linéaire d'une famille de vecteurs $(x_i)_{\,i\,\in\, I}$ ayant pour coefficients $(\lambda_i)_{\,i\,\in\, I}$ est le vecteur de E donné par :

Lorsque l'ensemble d'indexation $\ I$ est infini, il est nécessaire de supposer que le support de la famille $(\lambda_i)_{\,i\,\in\, I}$ soit fini.

Somme de sous-espaces vectoriels

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel E. On définit la somme de F et de G par :

F+G est un sous-espace vectoriel de E, c'est même le plus petit sous-espace vectoriel de E (au sens de l'inclusion) contenant F et G.

Démonstration

Montrons que $\ F+G$ est un espace vectoriel.

est clairement inclus dans

puisque E est stable par addition. :D'autre part,

sont des espaces vectoriels donc contiennent

, donc

Considérons deux éléments

et un scalaire

Donc

est un sous-espace vectoriel de

D'autre part, quel que soit $\ x$ élément de l'un des deux espaces de départ, $\ x=x+0_{E}=0_{E}+x$ donc $\ x$ appartient à $\ F+G$ .

On a donc

Réciproquement, tout espace vectoriel contenant $\ F$ et $\ G$ contient toutes les combinaisons linéaires d'éléments de $\ F$ et de $\ G$ donc contient clairement $\ F+G$ , qui est par conséquent le plus petit sous-espace vectoriel de $\ E$ contenant à la fois $\ F$ et $\ G$ .

Exemples

La classe des espaces vectoriels n'est pas un ensemble. La classe des espaces vectoriels sur un corps fixé, identifiés à isomorphisme linéaire près, n'est pas non plus un ensemble. De fait, la liste suivante ne saurait être exhaustive. Les espaces vectoriels cités trouvent leur intérêt dans les structures additives dont ils sont naturellement munis.

L'espace nul est l'espace vectoriel sur un corps K comportant un unique élément, qui est nécessairement le vecteur nul. L'espace nul est l'objet initial et l'objet final de la catégorie des espaces vectoriels sur K.
Le corps K se présente lui-même comme un espace vectoriel : l'addition et la multiplication fournissent respectivement la loi interne et la loi externe. Plus généralement, tout plongement de K dans un corps L (ie L est une extension de K), munit L d'une structure d'espace vectoriel sur K (voir extension de corps).
Pour tout ensemble I, le produit infini $\mathbb{K}^I$ est un K-espace vectoriel muni des lois d'addition terme à terme et de multiplication extérieure sur chaque terme :
- $+\; :\; (x_i)+(y_i)=(x_i+y_i)$
- $\cdot\;:\;\lambda\cdot(x_i)=(\lambda x_i)$
En particulier le vecteur nul est la famille dont tous les termes sont nuls. Ces espaces servent de modèles aux espaces vectoriels.
Plus généralement, le produit infini d'une famille d'espaces vectoriels sur K est un espace vectoriel sur K. Ce produit est le produit des espaces vectoriels au sens des catégories.
Pour une famille ( $E i$ ) d'espaces vectoriels, l'ensemble des familles à support fini $(v_i)\in\prod E_i$ forme un sous-espace vectoriel du produit des E_i, appelé la somme des espaces E_i.

l'ensemble $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ des matrices à n lignes et p colonnes. Les lois " + " et " • " sont définies par :

si $A=(a_{ij})_{i \in [\![1,n]\!], j \in [\![1,p]\!] }$ et $\ B=(b_{ij})_{i \in [\![1,n]\!], j \in [\![1,p]\!] }$ :
- $+\;:\;(A,B)\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) \times \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) \mapsto A+B=(a_{ij}+b_{ij})$
- $\cdot\;:\;(\lambda,B)\in\mathbb{K} \times \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) \mapsto \lambda\, B=(\lambda\, b_{ij})$
- neutre pour l'addition : la matrice nulle, celle dont tous les coefficients sont nuls

l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire...

l'ensemble des formes n-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension n est un espace vectoriel de dimension 1. C'est un résultat à la base de la théorie du déterminant.

Premières propriétés et dimension

Dimension

Familles libres, familles génératrices, bases

Une famille issue d'un espace vectoriel E est une " collection " de vecteurs de E.

Une famille $\mathcal{L}$ d'éléments de E est dite libre (sur $\mathbb{K}$ ) lorsque toute combinaison linéaire d'éléments de $\mathcal{L}$ à coefficients non tous nuls est non nulle, autrement dit lorsque la seule combinaison linéaire nulle d'éléments de $\mathcal{L}$ est celle dont tous les coefficients sont nuls ; on dit aussi dans ce cas que les vecteurs de la famille sont linéairement indépendants. Une famille d'éléments de E est dite liée lorsqu'elle n'est pas libre ; cela signifie qu'il existe une combinaison linéaire nulle des éléments de cette famille à coefficients non tous nuls (c'est ce qu'on appelle une relation de dépendance linéaire).

Par exemple, une famille d'un seul vecteur non nul est toujours libre. A contrario, une famille quelconque comportant le vecteur nul est liée.

On peut montrer qu'une famille $\ (u_1,\, u_2)$ de deux vecteurs de E est liée si et seulement s'il existe un scalaire $\ \alpha$ tel que $\ u_2 = \alpha\, u_1$ ou un scalaire $\ \beta$ tel que $\ u_1 = \beta\, u_2$ . On dit dans ce cas que les deux vecteurs sont colinéaires. En revanche, rien n'assure qu'une famille liée comportant plus de trois vecteurs contienne forcément deux vecteurs colinéaires.

Une famille d'éléments de E est dite génératrice (de E) lorsque tout élément de E peut s'exprimer d'au moins une manière sous la forme d'une combinaison linéaire des éléments de cette famille.

On appelle base de l'espace vectoriel E toute famille d'éléments de E libre et génératrice.

On peut montrer qu'une famille $\mathcal{B}$ d'éléments de E est une base si et seulement si tout élément u de E s'exprime de manière unique comme combinaison linéaire des éléments de $\mathcal{B}$ .

On démontre au moyen de l'axiome du choix que tout espace vectoriel non réduit à $\ \{0\}$ admet au moins une base.

Dimension finie

Si un espace vectoriel E admet une base ayant un nombre fini d d'éléments, alors toute base de E a ce même cardinal d.

L'entier d est appelé la dimension de E, notée $\dim_{\mathbb{K}} E$ , ou s'il n'y a pas d'ambiguïté, $\dim E$ . On dit alors que E est un espace vectoriel de dimension finie (sur $\mathbb{K}$ ), égale à d.

On convient qu'un espace vectoriel réduit à $\ \{0\}$ (et qui n'a donc pas de base) est de dimension finie, égale à 0.

On appelle droite vectorielle tout espace vectoriel de dimension finie égale à 1 et plan vectoriel tout espace vectoriel de dimension finie égale à 2.

Les espaces vectoriels qui ne sont pas de dimension finie sont dits de dimension infinie (cf. les exemples en fin d'article). Pour qu'un espace vectoriel E soit de dimension infinie, il faut et il suffit qu'il existe une famille libre infinie d'éléments de E.

Un espace vectoriel E est de dimension finie si et seulement s'il admet une famille génératrice ayant un nombre fini d'éléments.

Soit E un espace vectoriel de dimension finie (non nulle) égale à n. Alors :

toute famille génératrice de E a au moins n éléments ; si une famille génératrice de E a n éléments, c'est une base de E (on dit que les bases sont les familles génératrices minimales)
toute famille libre de E a au plus n éléments ; si une famille libre de E a n éléments, c'est une base de E (on dit que les bases sont les familles libres maximales).

Soient E un espace vectoriel de dimension finie n strictement supérieure à 1, et $\ (u_1, \dots, u_p)$ une famille libre de vecteurs de E telle que $\ p < n$ (autrement dit, une famille libre qui n'est pas une base : elle n'est pas maximale).

Alors, il existe $\ n - p$ vecteurs de E, qu'on peut noter $\ (u_{p + 1}, \dots, u_n)$ , tels que la famille $\ (u_1, \dots, u_n)$ soit une base de E.

On dit qu'on a complété la famille libre $\ (u_1, \dots, u_p)$ en une base de E. (Voir le théorème de la base incomplète).

Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Alors :

tout sous-espace vectoriel F de E est de dimension finie, et dim F ≤ dim E
si F est un sous-espace vectoriel de E tel que dim F = dim E, alors F = E.

Soient E un espace vectoriel de dimension finie, et $F_1,\, F_2$ deux sous-espaces vectoriels de E. Alors :

Supplémentaire et somme directe

Soit $\ E$ un espace vectoriel et $\ F$ un sous-espace vectoriel de E. On dit du sous-espace vectoriel $\ G$ qu'il est un supplémentaire de $\ F$ dans $\ E$ si:

$\ F \cap G=\left\{ 0_{E} \right\}$
$\ F+G=E$

On dit alors que $\ E$ est somme directe de $\ F$ et de $\ G$ et on note $\ E=F \oplus G$ . Lorsque c'est le cas, tout vecteur de $\ E$ se décompose de manière unique en une somme de deux vecteurs, l'un appartenant à $\ F$ et l'autre à $\ G$ .

démonstration

$\ Supposons \ \ \exists (x,y)\in E^{2} \ / \ x=y \ et \ \exists (x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}) \in F^{2}\times G^{2},\ x_{1}\neq y_{1} \ et \ x_{2}\neq y_{2} \ /$

$Alors \ x=y \Rightarrow x_{1}+x_{2}=y_{1}+y_{2} \Rightarrow x_{1}-y_{1}=x_{2}-y_{2} \Rightarrow \exists (z,t) \in (F\times G)-\left\{(0_{F},0_{G})\right\} \ / \ z=t$

C'est une contradiction a l'hypothèse de somme directe. La décomposition, si elle existe, est donc unique. Or l'existence d'une telle décomposition est assurée par la définition même de la somme d'espaces vectoriels.

Si un sous-espace vectoriel admet toujours un supplémentaire, l'unicité de ce dernier n'est absolument pas imposée. (Par exemple, dans $\mathbb{R}^3$ , les suplémentaires d'un plan quelconque sont toutes les droites non contenues dans ce plan. Il existe donc ici une infinité de supplémentaires différents).

La généralisation à une somme directe de $\ n$ sous-espaces vectoriels demande une légère attention. En effet, soit $\ (E_{i})_{1\geq i\geq n}$ une famille de sous-espace vectoriels de $\ E$ , la condition "l'intersection des sous-espaces deux à deux est $\ \left\{ 0_{E} \right\}$ " est nécessaire mais non suffisante pour définir une somme directe. (Penser au contre exemple dans le plan $\ \mathbb{R}^2$ des trois droites dirigées par $\ (0,1)$ , $\ (1,0)$ et $\ (1,1)$ dont l'intersection deux à deux est $\ {(0,0)}$ mais qui ne peuvent pas être en somme directe).

Les sous-espaces de la famille des $\ (E_{i})_{1\geq i\geq n}$ sont en somme directe si:

[à continuer]

Applications linéaires

Définitions

Soient $\ E$ et $\ F$ deux espaces vectoriels.

Une application linéaire $\ f$ de $\ E$ dans $\ F$ est une application telle que:

$\forall (x,y) \in E^2 ,\forall \lambda \in \mathbb{K},\ f(\lambda x+y)=\lambda f(x)+f(y)$ .

L'ensemble des applications linéaire de $\ E$ dans $\ F$ est noté $\ L(E,F)$ . Lorsque $\ F=E$ , on parle d'endomorphisme de $\ E$ et on note leur ensemble $\ L(E)$ .

Une application linéaire du $\mathbb{K}$ -espace vectoriel $\ E$ dans $\mathbb{K}$ est nommée forme linéaire.

Soit $\ f \in L(E,F)$ .

On appelle noyau de $\ f$ et on note $\ Ker(f)$ l'ensemble $\ \left\{ x \in E\ / f(x)=0_F \right\}$ .

On appelle image de $\ f$ et on note $\ Im(f)$ l'ensemble $\ \left\{ y \in F\ / \ \exists x \in E \ et \ y=f(x) \right\}$ .

La dimension de l'image est appellée rang de $\ f$ . On le note $\ rg(f)$ .

Propriétés et théorèmes

L'image et le noyau sont respectivement sous-espaces vectoriels de l'espace d'arrivée de de l'espace de départ.

$\ E$ de dimension finie, $\ f \in L(E,F)$ . Alors $\ f$ définit un isomorphisme de tout supplémentaire de $\ Ker(f)$ dans $\ Im(f)$ .

En découle, en dimension finie toujours, le théorème du rang:

$\ Dim(E)=Dim(Im(f))+Dim(Ker(f))$ ,

que l'on peut reformuler sous la forme $\ rg(f)=Dim(E)-Dim(Ker(f))$ d'où le nom du théorème.

On identifie souvent $\ L(E,F)$ à $\ M_{n,p}(\mathbb{K})$ l'ensemble des matrices de taille $\ n\times p$ , où $\ n$ et $\ p$ sont les dimensions respectives de $\ E$ et $\ F$ .

Exemples

L'application nulle, les homothéties (dans le cas des endomorphismes) sont des exemples triviaux d'applications linéaires.

Espaces vectoriels topologiques

On peut munir un espace vectoriel d'une structure topologique compatible avec la structure linéaire. Compatible signifie que l'addition et la multiplication par un scalaire doivent être continues. Des exemples fondamentaux d'espaces vectoriels topologiques sont les espaces de Banach et espaces de Hilbert.

Dualité

Définitions

$\ E$ est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel.

On appelle dual de $\ E$ et on note $\ E^*$ l'ensemble des formes linéaires sur $\ E$ . ( Attention à la notation, il n'y a ici aucun rapport entre $\ E^*$ et $\ E-\left\{ 0_E \right\}$ ).
Un base de $\ E^*$ est appelée base duale.

Propriétés en dimension finie

$\ Dim(E^{*})=Dim(E)$
Soit $\ H$ un sous-espace vectoriel de $\ E$ . On a l'équivalence suivante:

est un hyperplan de

c'est-à-dire que tout hyperplan est le noyau d'une forme linéaire non nulle.

Soit $\ B=\left\{e_{1},...,e{n} \right\}$ une base de $\ E$ . Il existe une unique base duale $\ B^{*}=\left\{e_{1}^{*},...,e_{n}^{*}\right\}$ telle que:

, où

est le symbole de Kronecker.

On dit alors que

est la base duale associée à

Objets algébriques liés

Modules

Les modules généralisent les espaces vectoriels puisqu'ils ont les mêmes axiomes de départ, mise à part le fait, important, que la loi externe est définie sur un anneau commutatif et non sur un corps.

De nombreuses propriétés vraies dans les espaces vectoriels ne sont plus vraies dans les modules, par exemple l'existence d'une base n'est plus assurée dans un modules.

Algèbres

[à compléter]

Ce dispositif reproduit les trous noirs et trous blancs en laboratoire 🌀

Record établi pour un transistor en diamant 💎

Les sursauts radio rapides trahissent enfin leur origine cosmique 📡

Ces biomarqueurs sanguins prédisent la démence 10 ans à l'avance 🧠

Découverte majeure: des médicaments 23 fois plus efficaces contre le cancer 💊

Les oscillations collectives des foules humaines denses 🔁

Une forme inconnue de la matière détectée au LHC ? ⚛️

Le sel, un facteur méconnu de l'obésité ? 🧂

L'Univers en rotation, une réponse élégante à ce problème astrophysique majeur 🌀

Découverte tectonique majeure sous les Petites Antilles 🌍

Peut-on geler en chauffant ? ❄️

Une peau électronique pour doter les robots du sens du toucher 👌

Invention d'un bois semi-transparent avec une technique...surprenante ! 🌳

Le cancer inscrit dans nos gènes dès la naissance ? 🧬

Des supernovae à l'origine de deux extinctions massives sur Terre ? 💥

Le passé verdoyant du plus grand désert du monde 🐪

Après les campagnes antivaccins, la rougeole revient en force aux États-Unis 😷

Des puces quantiques plus proches que jamais ⚡

Pourrons-nous bientôt communiquer avec les dauphins grâce à l'IA ? 🐬

En déplaçant deux atomes, des chercheurs transforment le LSD en médicament surpuissant 💊

Des scientifiques parviennent à produire efficacement du carburant à partir de monoxyde de carbone 🛢️

Que nous apprend la découverte de cet insecte de 16 millions d'années ? 🐜

Avec 91km, l'accélérateur FCC fera passer le LHC pour un jouet ⚛️

Cette vitamine développe les fonctions cognitives du cerveau 🧠

Comment des impacts géants vaporisent les corps planétaires ☄️

Les Américains riches vivent moins longtemps que les Européens pauvres 💰

Attention à ce riz naturellement riche en arsenic 🍚

L'intelligence artificielle contre la mort subite 💀

L'inévitable formation d'un océan de magma basal sur Terre 🔥

Découverte d'une plante étrange sans chlorophylle 🌱

Existe-t-il des mélodies naturelles ? 🎶

Cette exoplanète présente une signature de vie bien plus forte que celle de la Terre 👽

L'origine énigmatique des rayons cosmiques les plus énergétiques ⚡

Le diagnostic de l'autisme remis en cause par l'intelligence artificielle 🩺

Imprimer en 3D avec la lumière du soleil ☀️

La pollution atmosphérique nuit gravement au cerveau 🧠

Le trou noir supermassif Ansky vient de se réveiller ⚫

Voici ce qui rend notre cerveau vraiment unique 🧠

Asymétrie matière-antimatière: une nouvelle pièce du puzzle dévoilée 🧩

Neige en inuit, goût en japonais... comment les langues décomposent la réalité ? 💬

La physique révèle les secrets d'un strike parfait au bowling 🎳

Le TDAH associé à la démence 🧠

Découverte d'une nouvelle forme d'intrication quantique, une première en 20 ans ⚛️

Le régime cétogène montre des surprises sur le cholestérol 🧐

Un tango observationnel révèle une Super-Terre 🔭

Cette expérience montre que la graisse brune augmente fortement la longévité 🕒

L'Univers comme jamais vu auparavant: les révélations du fond diffus cosmologique 🔭

C'est sérieux: de la bave pourrait révolutionner la conception de bioplastiques 🪱

Découverte: le trou noir central de notre galaxie pourrait anéantir la vie sur Terre 💥

Etude scientifique: ces aliments nous font vieillir 🍽️

Page générée en 0.245 seconde(s) - site hébergé chez Contabo
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
A propos - Informations légales
Version anglaise | Version allemande | Version espagnole | Version portugaise