Bilinéaire - Définition et Explications

Définition

Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps \mathbb{K}.
Soit \varphi : E \times F \longrightarrow G une application, on dit que \varphi est bilinéaire si et seulement si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire:
\forall x,x' \in E, \forall y,y'\in F, \forall \lambda \in \mathbb{K}:
\varphi (x+x',y)=\varphi (x,y) + \varphi (x',y)
\varphi (x,y+y')=\varphi (x,y) + \varphi (x,y')
\varphi (\lambda x,y)=\lambda \varphi (x,y)
\varphi (x,\lambda y)=\lambda \varphi (x,y)

Si F=\mathbb{K} on parlera de forme bilinéaire (En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, une forme bilinéaire est un type particulier d'application qui, à deux vecteurs d'un même espace vectoriel (sur un...).

Articles de mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques...) en rapport avec l'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations linéaires et des systèmes...)
Espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.) | Base | Dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien...) | Matrice | Application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l’addition des vecteurs et la multiplication...) | Déterminant | Trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma...) | Rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le rang et la dimension du noyau d'une application linéaire définie...) | Théorème des facteurs invariants (En mathématiques, le théorème des facteurs invariants porte sur les modules de type fini sur les anneaux principaux. Les facteurs invariants sont des obstructions à l'inversibilité des...) | Réduction d'endomorphisme | Réduction de Jordan (La réduction de Jordan est la traduction matricielle de la réduction des endomorphismes introduite par Jordan. Cette réduction est tellement employée,...) | Décomposition de Dunford (La décomposition de Dunford s'inscrit dans la problématique de la réduction d'endomorphisme. Cette approche consiste à décomposer l'espace vectoriel en une somme...) | Valeur propre (En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il...) | Polynôme caractéristique (En algèbre linéaire, à toute matrice carrée ou à tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est associé un polynôme appelé polynôme caractéristique. Il renferme d'importantes informations sur la matrice...) | Forme linéaire (En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier d'applications linéaires. L'étude spécifique qu'on leur accorde est motivée par le fait qu'elles jouent un rôle primordial en mathématiques,...) | Espace dual (L'espace dual d'un espace vectoriel E est l'ensemble des formes linéaires sur E. La structure d'un espace et celle de son dual sont très liées. La fin de cet article présente quelques résultats sur les liens entre espace dual et...) | Orthogonalité (En mathématiques, l'orthogonalité est un concept d'algèbre linéaire associé à une forme bilinéaire. Un cas fréquent est celui où cette forme est un produit scalaire.) | Produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois s'appliquant aux vecteurs. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou...) | Produit vectoriel (En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens...) | Polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une...) d'endomorphisme | Polynôme minimal (Le polynôme minimal est un outil qui permet d'utiliser des résultats de la théorie des polynômes à l'algèbre linéaire. Il est en effet possible d'appliquer un polynôme à un endomorphisme, comme...) | Tenseur (Tenseur) | Pseudovecteur | Covecteur | Algèbre multilinéaire (En mathématiques, l’algèbre multilinéaire étend les méthodes de l’algèbre linéaire. Tout comme l’algèbre linéaire est bâtie sur le concept...)
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