Structure algébrique - Définition

En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, une structure algébrique est formée d’un ensemble combiné à une ou plusieurs lois de composition, éventuellement complétées par un ordre ou une topologie, le tout satisfaisant un certain nombre d'axiomes.

Structures algébriques pures

Ces structures ne comportent que des lois de composition.

Structures de base

Elles ne comportent que des lois de composition interne. Les plus importantes sont les structures de groupe, d’anneau et de corps.

Groupoïdes

Les structures algébriques les plus simples ne comportant qu’une loi de composition interne.

• magma (ou groupoïde) : ensemble avec une seule loi de composition interne. (Attention, le terme groupoïde a un autre sens en théorie des catégories.)

• paragroupe : un magma permutatif, commutatif et régulier.

• antigroupe : un magma permutatif, régulier et involutif à droite.

• quasigroupe : un magma symogène.
• boucle : un quasigroupe unifère, c’est-à-dire possèdant un élément neutre.
• moufang : une boucle neutroactive.

• prégroupe : un magma associatif; les prégroupes sont parfois qualifiés de monoïdes
• monoïde : un prégroupe unifère.
• semigroupe : un monoïde régulier.

• groupe : un monoïde inversible, c’est-à-dire où tout élément possède un inverse; c’est aussi une boucle associative.

• groupe abélien : un groupe commutatif; c’est aussi un paragroupe unifère et inversible.

Annélides

Ces structures comportent deux lois de composition internes.

• anneau : un ensemble muni d’une structure de groupe (la loi de composition étant nommée addition) et d’une structure de magma associatif (la loi de composition correspondante étant nommée multiplication), la multiplication étant distributive sur l’addition. Un anneau est unitaire (resp. intègre, commutatif) si la multiplication est unifère (resp. intègre, commutative) et l'ensemble possède un élément neutre pour la multiplication (dans le cas contraire, il s'agit d'un pseudo-anneau).

• pseudo-anneau : similaire à un anneau, mais l'ensemble ne possède pas d'élement neutre pour la multiplication (dans l'exemple précédent).

• semianneau : similaire à un anneau, mais sans inverses additifs. L’ensemble muni de l’addition forme donc non pas un groupe, mais seulement un monoïde.

• anneau intègre: un anneau non nul et sans diviseur de zéro, c’est-à-dire que tout élément non nul de l'anneau est régulier pour la multiplication.

• anneau commutatif : un anneau dont la multiplication est commutative.

• corps : un anneau où l’élément neutre de l’addition n’est pas celui de la multiplication et où tout élément non nul a un inverse multiplicatif. À cause de l’influence anglaise (voir ci-dessous), un corps est souvent considéré comme implicitement commutatif, alors que dans la tradition française, il ne l'est pas nécessairement. Pour éviter toute ambiguïté, il vaut mieux indiquer :

- " corps commutatif " pour un corps effectivement commutatif,

- et " corps commutatif ou non ", ou " corps quelconque ", pour un corps non nécessairement commutatif.

• corps commutatif, corps non commutatif : dans la tradition française un " corps " n’est pas nécessairement commutatif ; en anglais, un corps commutatif est appelé field, et un corps non commutatif division ring. Un glissement de sens tend à aligner la terminologie française sur la terminologie anglaise et à qualifier les corps non commutatifs d' " anneaux à (ou de) division " et les corps commutatifs de " corps " tout court. Cette dernière appellation est à éviter car elle amène désormais une ambiguïté : le " corps " considéré est-il commutatif ou quelconque ?

Structures à opérateurs externes

Ces structures peuvent être considérées d’un point de vue algébrique ou géométrique.

Algébriquement, une structure externe est un ensemble muni d’une loi de composition externe sur une structure de base, et éventuellement d’une ou plusieurs lois de composition interne.

Géométriquement, c’est un ensemble sur lequel agit un ensemble-opérateur, ou ensemble d’opérateurs, dits aussi scalaires. C’est donc un ensemble muni d’une action de l’ensemble-opérateur dans cet ensemble, c’est-à-dire d’une application de l’ensemble-opérateur dans l’ensemble des applications de cet ensemble dans lui-même.

La correspondance entre les actions et les lois externes est bijective; c’est pourquoi les lois externes sont souvent appelées lois d’action.

Pour être rigoureux, il faudrait distinguer entre actions à gauche et à droite, et de même entre lois externes à gauche et à droite. Dans les définitions et axiomes qui suivent, nous supposerons implicitement les lois externes à gauche.

Espaces homogènes

Ces structures ne comportent qu'une seule loi, externe.

• Espace homogène ( sur un monoïde ) : ensemble muni d’une loi externe exo-associative et exo-unifère sur un monoïde.

Moduloïdes

Structures possédant à la fois une loi de composition interne et une loi de composition externe.

• espace actif ( sur un ensemble ) ou groupe à opérateurs ( dans un ensemble ) : groupe muni d’une loi externe sur un ensemble d’opérateurs, distributive par rapport à la loi du groupe

• module ( sur un anneau unitaire ) : espace actif dont la loi externe :

- est sur un anneau unitaire;

- est, relativement à la loi du groupe, exo-distributive par rapport à l’addition de l’anneau;

- forme un espace homogène sur l’ensemble de base de l’anneau muni de sa seule multiplication

• espace vectoriel ( sur un corps commutatif ) : un module sur un corps commutatif. C’est donc un groupe abélien muni d’une loi externe sur un corps commutatif, loi vérifiant les quatre propriétés précédentes (distributivité, exo-distributivité, exo-associativité et exo-unitarité).

• espace affine ( sur un corps commutatif ) : paragroupe muni d’une loi externe sur un corps commutatif.

La loi interne du paragroupe est souvent appelée loi milieu, car dans un espace affine euclidien, cette loi n’est autre que celle qui associe à deux points leur milieu géométrique. En symétrisant cette loi, on aboutit à un espace vectoriel, celui associé à l' espace affine.

La loi externe de l'espace affine vérifie d'ailleurs des propriétés analogues à celles de la loi externe d’un espace vectoriel.

Algèbres

Structures possédant deux lois internes et une loi externe.

• algèbre ( sur un corps commutatif ) : un module ou un espace vectoriel muni en plus d’une loi de composition interne bilinéaire.

• algèbre sur un anneau commutatif unitaire : combinant la structure de module et celle d'anneau.

• algèbre associative : une algèbre dont la multiplication est associative.

• algèbre commutative : une algèbre dont la multiplication est commutative.

• algèbre de Lie : un type particulier d’algèbre généralement non-associative.

• algèbre de Clifford : une algèbre associative munie d’une application linéaire particulière.

Structures algébriques ordonnées

Treillis

Ensembles munis de deux lois internes, qui peuvent aussi s’interpréter comme la borne supérieure et la borne inférieure des couples au sens d’un ordre partiel.

• treillis : un ensemble muni de deux lois de composition internes commutatives, associatives et idempotentes satisfaisant la loi d’absorption.

• algèbre de Boole : un treillis borné, distributif et complémenté.

Structures algébriques topologiques

Les structures algébriques peuvent également posséder des caractéristiques additionnelles topologiques. Ainsi, en allant du général au particulier :

• Une structure algébrique peut être munie d'une topologie, devenant ainsi un espace topologique :

• Un groupe topologique est un groupe muni d'une topologie telle que sa loi de composition interne soit continue ainsi que les relations inverses (RTID et RTIG) de cette loi.
• Les espaces vectoriels topologiques constituent un autre cas important.
• les groupes de Lie en forment un autre.

• Plus particulièrement, la structure algébrique peut être munie d'une distance, devenant un espace métrique :

• les espaces affines métriques en sont l’exemple le plus classique.

• Les espaces vectoriels normés sont des espaces vectoriels munis d'une norme, définissant la " longueur " d’un vecteur. Les espaces normés sont des espaces métriques, car il est toujours possible de construire une distance à partir d’une norme :

- dans un espace vectoriel, en prenant comme distance entre vecteurs la norme de leur différence,

- dans un espace affine, dit alors espace affine normé, en prenant comme distance entre deux points la norme du vecteur formé par les deux points.

• Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet.

• Les espaces vectoriels préhilbertiens, ou préhilbertiens, sont des espaces vectoriels munis d'un produit scalaire. Quelques cas importants ont reçu un nom :

• Un espace vectoriel euclidien est un espace vectoriel sur de dimension finie, muni d’un produit scalaire dont la forme quadratique correspondante est définie positive. Cet espace est un espace normé : il suffit par exemple de prendre comme norme des vecteurs la racine carrée de leur carré scalaire. Cette norme est d’ailleurs dite norme euclidienne associée au produit scalaire. L’espace affine associé à un espace vectoriel euclidien devient un espace affine euclidien quand il est muni de la distance, dite euclidienne, déduite de la norme euclidienne. Cet espace est celui de la géométrie classique d’Euclide.
• Un espace vectoriel hermitien est un espace vectoriel sur de dimension finie, muni d’un produit scalaire dont la forme hermitienne correspondante est définie positive. Cet espace est un espace normé : il suffit par exemple de prendre comme norme des vecteurs la racine carrée de leur carré scalaire. Cette norme est d’ailleurs dite norme hermitienne associée au produit scalaire.
• Un espace de Hilbert est un préhilbertien séparé complet. C’est donc un espace de Banach particulier.

La liste ci-dessus n'est pas exhaustive...

Structures algébriques et catégories

Toute structure algébrique possède sa propre notion d’homomorphisme, une application compatible avec ses lois de composition. En ce sens, toute structure algébrique définit une catégorie.