Quasigroupe - Définition

En mathématiques, un quasigroupe est un magma symogène, dans lequel la " division " est toujours possible.

Présentation

Les mathématiciens qui se sont intéressés à la notion de groupe ont découvert que le tableau définissant la loi d'un groupe vérifie un lemme, dit de réarrangement :

chaque élément du groupe apparait une fois et une seule dans chaque ligne et chaque colonne de la table.

Mais ils ont aussi découvert que tout tableau vérifiant cette propriété ne définit pas obligatoirement la loi d'un groupe. La loi obtenue est cependant " quasiment " celle d'un groupe, d'où le nom de quasigroupe donné aux structures correspondantes.

Le lemme de réarrangement peut s'exprimer de manière plus formelle :

- dire qu'un élément apparait une fois et une seule sur chaque ligne revient à affirmer que pour tous x et z, l'équation   x * y = z   a une et une seule solution en y;

- de même, dire qu'un élément apparait une fois et une seule sur chaque colonne revient à affirmer que pour tous y et z, l'équation   x * y = z   a une et une seule solution en x.

Définition formelle

Un quasigroupe est un magma ( E , ) non vide et symogène, c'est-à-dire un ensemble E non vide muni d'une loi de composition interne symogène.

Une loi est dite symogène s'il existe pour chaque couple (a, b) une solution (x, y) unique aux équations :

C'est-à-dire si :

Principales propriétés

• La loi d'un quasigroupe est régulière (=simplifiable).

En effet, si   x y   =   x z   , alors il existe   c   tel que   c   =   x y   et   c   =   x z   .

Mais d'après le lemme de réarrangement, l'équation   c   =   x y   a une et une seule solution en y. Donc   y = z   , et la loi est régulière à gauche.

On montre de manière analogue que la loi est régulière à droite, d'où CQFD (Ce Qu'il Fallait Démontrer).

• La table de multiplication d'un quasigroupe fini est appelée un carré latin : une matrice n × n remplie avec n symboles différents d'une façon telle que chaque symbole apparaisse exactement une fois par ligne et une fois par colonne.

• La " division " est toujours possible dans un quasigroupe.

Soit " • " la correspondance de E × E dans E définie par :

Cette correspondance est intuitivement " l'opération inverse " de l'opération , autrement dit une " division ";

C'est une application car est régulière. C'est donc une loi de composition interne : ( E , • ) est un magma, et la " division " • s'applique donc à tous les couples de E ².

Structures dérivées

• Un quasigroupe avec un élément neutre est appelé une boucle (loop en anglais). D'après la définition des quasigroupes, tout élément d'une boucle a un inverse à droite et un inverse à gauche.

• Un moufang ou boucle de Moufang est un quasigroupe neutroactif, c'est-à-dire un quasigroupe ( E , ) dans lequel, pour tous a, b et c :

Comme son nom le suggère, une boucle de Moufang est une boucle; en effet :

Pour tout a de E, si e est un élément de E   tel que   a * e = a   , alors pour tout x dans E,   (x * a) * x = (x * (a * e)) * x = (x * a) * (e * x) ;

donc   x = e * x   et e est un élément neutre à gauche.

Pour tout b appartenant à E   tel que   b * e = e   ,   y * b = e * (y * b)   , car e est neutre à gauche ;

ainsi   (y * b) * e = (e * (y * b)) * e = (e * y) * (b * e) = (e * y) * e = y * e ,

d'où   y * b = y   , et b est donc neutre a droite.

Enfin,   e = e * b = b   , et b est donc un élément neutre.

• Tout groupe est un quasigroupe : en effet, la loi d'un groupe est symogène :   a * x = b   si et seulement si   x = a^-1 * b   , et   y * a = b   si et seulement si   y = b * a^-1 .

Inversement, tout quasigroupe associatif est un moufang, donc une boucle, et toute boucle associative est un groupe.

Ceci montre que l'ensemble des groupes est exactement l'ensemble des quasigroupes associatifs.

La théorie des boucles est similaire à celle des groupes.

Exemples de quasigroupes

• Tout groupe.
• Tout système triple de Steiner.
• L'ensemble des éléments non nuls d'une algèbre sur un corps de base de dimension finie avec des diviseurs non nuls. (Par exemple les octonions non nuls).
• Rⁿ avec l'opération x * y = (x + y) / 2. Plus généralement, tout espace vectoriel sur un corps de caractéristique différente de 2 muni de cette opération est un quasigroupe.