Polynôme - Définition
En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur approchée de toute fonction dérivable (voir développement limité) et permettent de représenter des formes lisses (voir l'article courbe de Bézier, décrivant un cas particulier de fonction polynôme).
En algèbre générale, un polynôme d'indéterminée X sur un anneau unitaire est une expression de la forme :
où X est un symbole appelé indéterminée du polynôme.
Si, en mathématiques appliquées, en analyse et en algèbre linéaire, il est fréquent de confondre le polynôme avec la fonction polynôme, il n'en est pas de même en algèbre générale. Cet article traite principalement du polynôme formel.
Considérations historiques
L'histoire des polynômes est inséparable de celle de l'algèbre. Initialement créés pour résoudre des équations, ils se trouvent confondus avec les fonctions polynômes. Les coefficients sont très souvent des réels positifs mais la soustraction est permise. Au fur et à mesure que les recherches s'approfondissent, il se révèle nécessaire de distinguer plus nettement le polynôme formel de la fonction polynôme. Cette évolution se fait conjointement avec le développement de l'algèbre générale. Les coefficients quittent alors le domaine des réels ou des complexes (polynômes à coefficient dans un corps) pour appartenir à des anneaux commutatifs unitaires (comme 
). Le nombre de variables augmente et on est parfois amené à étudier des polynômes à 2, 3,.., n variables. L'étude des polynômes formels ouvre la porte à celle des séries formelles.
Polynômes formels
Un polynôme f est défini comme une expression formelle de la forme
où les coefficients a0,.., an sont éléments d'un anneau A, et X est un symbole formel appelé indéterminée du polynôme.
L'ensemble des polynômes à coefficients dans un anneau A, noté A[X], n'est autre que l'ensemble des suites d'éléments de A à support fini (suites nulles à partir d'un certain rang, appelées également suites presque nulles). Pour une construction de A[X], voir une construction de l'ensemble des polynômes.
Le degré d'un polynôme est défini, si le polynôme est non nul (c'est-à-dire si ses coefficients ne sont pas tous nuls), par 
, c'est le plus grand exposant de X devant lequel le coefficient n'est pas nul. On note généralement le dégré d'un polynôme P, deg(P) ou 
. Par convention, le degré du polynôme nul vaut 
.
Deux polynômes sont égaux si et seulement si les suites de leurs coefficients sont égales. Les polynômes à coefficients dans A peuvent être ajoutés simplement par l'addition des coefficients correspondants et multipliés en utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition et les règles suivantes :
- X a = a X pour tous les éléments a de l'anneau A
- X k X l = X k + l pour tous les entiers naturels k et l.
On peut alors vérifier que l'ensemble de tous les polynômes à coefficients dans l'anneau A forme lui-même un anneau. L' " anneau des polynômes à coefficients dans A " est désigné par A[X].
Si A est commutatif, alors A[X] est une algèbre sur A.
On peut engendrer l'anneau A[X] à partir de A en adjoignant un nouvel élément X à A et en exigeant que X commute avec tous éléments de l'ensemble A. Pour que l'ensemble obtenu devienne un anneau, toutes les sommes de puissances de X doivent être aussi adjointes à l'ensemble.
Fonctions polynômes
À tout polynôme f de A[X], on peut associer une fonction polynôme d'ensemble de définition et d'arrivée A. On obtient la valeur de cette fonction pour un argument donné a en remplaçant partout le symbole X dans f par a. Les algébristes font une distinction entre un polynôme et une fonction polynomiale car, sur certains anneaux A (par exemple sur les corps finis), deux polynômes différents peuvent avoir la même fonction polynôme associée. Ceci n'est pas le cas sur le corps des réels ou des complexes et donc les " analystes " ne séparent pas les deux concepts.
Exemple : Sur le corps fini 
, le polynôme X + X2 est non nul, mais sa fonction polynôme associée l'est.
Morphisme d'évaluation : Plus généralement, dans un polynôme f, on peut remplacer le symbole X par n'importe quel élément 
appartenant à une algèbre E sur A. L'application qui, à tout polynôme f dans A[X], associe l'élément 
de E (défini comme ci-dessus), est appelée morphisme d'évaluation en de A[X] dans E. Un cas très fréquent est celui où A est un corps 
, et E l'algèbre des matrices n × n sur , ou bien l'algèbre des endomorphismes d'un espace vectoriel sur . On définit ainsi des polynômes de matrices et d'endomorphismes :
Divisibilité
En algèbre commutative, c'est-à-dire dans un anneau commutatif unitaire intègre, une attention particulière est portée sur l'étude de la divisibilité entre les polynômes. Des résultats plus forts existent quand les coefficients sont pris dans un corps.
Coefficients dans un anneau commutatif unitaire intègre
Si f et g sont des polynômes dans A[X], nous dirons que f divise g s'il existe un polynôme q dans A[X] tel que f.q = g.
On peut démontrer alors que " chaque racine engendre un facteur linéaire ", ou plus formellement que : si f est un polynôme dans A[X] et a est un élément de A tel que f ( a ) = 0, alors le polynôme ( X - a ) divise f. La réciproque est aussi vraie. Le quotient peut être calculé en utilisant la méthode de Horner.
Certains polynômes aux propriétés particulières se détachent alors :
- Polynôme inversible : un polynôme P est inversible s'il existe un polynôme Q tel que P.Q = 1.
-
- Les seuls polynômes inversibles de A[X] sont les polynômes constants dont la constante est inversible dans A.
- Polynôme irréductible : Polynôme dont les seuls diviseurs sont les éléments inversibles ou les polynômes U.P où U est un polynôme inversible.
-
- Un polynôme unitaire du premier degré est irréductible (contre-exemple : 2X+2=2(X+1) n'est pas irréductible dans
![\mathbb Z[ X ]\,](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/a/aeda3a650f5a801a6d09dbc8e9fc2a64_7d479593eb81d62de96803fa3aff7dd3.png)
) . - Le polynôme X 2 + 1 est irréductible dans
![\mathbb R[ X ] \,](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/b/b54e84099d870bd11192e90017d3226c_715e0f05faf915aeda60b802ddca0029.png)
, mais pas dans ![\mathbb C [ X ] \,](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/2/2026f1a6452ae3da0c3e2c14b049623f_df76c369b8fb9ab2275b565cc34f0a20.png)
. - Si A est un anneau factoriel, alors tout polynôme se décompose de manière unique, à un inversible près, en produit de polynômes irréductibles. A[X] est donc aussi factoriel.
- Un polynôme unitaire du premier degré est irréductible (contre-exemple : 2X+2=2(X+1) n'est pas irréductible dans
- Polynôme premier : P est un polynôme premier si, pour tout Q et S tel que P divise Q.S , si P ne divise pas Q alors P divise S.
-
- Dans le cas où A est factoriel, les notions de polynôme premier et polynôme irréductible sont équivalentes mais, dans les autres cas, on a seulement la propriété suivante: un polynôme premier est irréductible.
- Polynôme primitif : Si A est un anneau factoriel, P est un polynôme primitif ssi le pgcd de ses coefficients est 1.
Dans un anneau commutatif unitaire, un polynôme est dit primitif lorsque l'anneau est le plus petit idéal principal contenant les coefficients du polynôme.
- Polynôme scindé : Un polynôme scindé est un polynôme qui peut s'écrire comme produit de polynômes du premier degré.
-
- X 2 + 1 est scindé sur
(il se décompose en (X + i)(X - i)) mais pas sur 
.
- X 2 + 1 est scindé sur
- Polynôme séparable : Polynôme qui peut s'écrire dans un sur-anneau intègre de A comme produit de polynômes du premier degré X - a i où tous les a i sont distincts.
- Polynômes premiers entre eux : P et Q sont premiers entre eux si, pour tout polynôme S, si S divise P et Q alors S est inversible.
- Polynôme unitaire : Polynôme dont le coefficient du terme de plus haut degré est 1.
- Polynôme cyclotomique : pour
, le n-ème polynôme cyclotomique est le produit des X − ζ avec ζ parcourant les racines n-èmes primitives de l'unité.
Coefficients dans un corps commutatif
Si K est un corps et f et g sont des polynômes dans K[X] avec g ≠ 0, alors il existe des polynômes q et r dans K[X] avec : f = q g + r et tels que le degré de r soit strictement plus petit que le degré de g. Les polynômes q et r sont uniquement déterminés par f et g. C'est ce que l'on appelle la division euclidienne ou "la division suivant les puissances décroissantes" de f par g et cela montre que l'anneau K[X] est un anneau euclidien.
K[X] est donc un anneau euclidien (seul les anneaux de polynômes à coefficients dans un corps sont des anneaux euclidiens) et cela permet alors de définir les notions de ppcm, de pgcd avec la mise en place d'un algorithme d'Euclide de recherche de pgcd. On retrouve aussi l'identité de Bézout sur les polynômes premiers entre eux : si P et Q sont premiers entre eux, il existe deux polynômes U et V tels que UP + VQ = 1 .
Réductibilité des polynômes de ?[X]
Un polynôme primitif A de ![\mathbb{Z}[X]](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/8/8948f9796109cbb4f99d4dd5ba0b3b82_f550541c17eb429ba1b0618ba09d0a1b.png){kind=small}
est irréductible si et seulement si, considéré comme polynôme de ![\mathbb{Q}[X]](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/1/12e7b267ca89f819cb51e1e108ba6678_7e83301ef2e1116ad54ff923cbb6e2f9.png){kind=small}
, il est irréductible dans . De plus si A = B.C dans , il existe un rationnel non nul 
tel que 
et 
soient dans
Indications sur la démonstration:
- Tout d'abord définissons l'application
de dans telle que pour ![\quad A[X] = \sum_{k=0}^n a_k X^{n-k} , \qquad \quad\Gamma (A) = \operatorname{pgcd}(a_0, a_1, ..., a_n)](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/f/fb9342766a953d2cf4d4300c646ae9cc_8939d0f844baba8f292bddbdcff04f3c.png)
.
On vérifiera que pour tous ![\quad A, B \in\mathbb Z[X]](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/3/3c28d2ba3ee67865feac9a02f493cb93_8ae19fde46071b20b9b43f649070fa97.png){kind=small}
et tout 
on a 
et 
.
- Supposons alors que
, avec 
, 
étant des polynômes de ![\mathbb Q [X]](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/9/9918bced8e53444100ccab7a8a59f47d_2cec35570b28ace18388d52b9029d78c.png)
. En multipliant par des entiers positifs convenables 
et 
on obtient des polynômes 
à coefficients entiers vérifiant 
.
Mais 
.
En posant 
, on a les polynômes 
et ![\quad C''\in\mathbb Z [X]](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/9/921e993cdda2be0ba007bde6564e6c9b_f3e9ca07a33c90254378fb5306a7123a.png){kind=small}
et l'égalité 
entraîne 
.
- Le cas général où l'on n'a plus nécessairement se déduit sans difficulté.
Remarque: Si ![\quad A, B, C \in \mathbb Z [X]](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/5/5a59beefb74d4f7ed300a641930960ed_a0664c6624727f6e05000f658ddb34bd.png){kind=small}
vérifient 
et si 
est unitaire alors sont également unitaires (au signe près évidemment).
Constructions de nouvelles structures
Elles sont de deux types : construction d'extensions sur l'anneau A[X] ou extension sur l'anneau de départ.
Corps des fractions
Si A est un anneau commutatif unitaire intègre, il en est de même de son anneau de polynôme, on peut donc construire son corps des fractions, appelé corps des fractions rationnelles à coefficients dans A et d'indéterminée X.
Corps de rupture
La seconde structure conduit à tout le domaine des extensions.
Si A est un anneau commutatif unitaire intègre et si P est un polynôme premier de A[X] , on peut construire un anneau commutatif unitaire intègre contenant A dans lequel P possède une racine.
Si P est un polynôme irréductible (i.e. premier) de K[X], on peut construire un corps commutatif contenant K dans lequel P possède une racine. C'est le corps de rupture de P.
La stratégie de construction nécessite la maîtrise des anneaux et de leurs idéaux. On considère l'idéal I engendré par P . Il est premier si les coefficients sont dans un anneau, il est maximal si les coefficients sont dans un corps. On construit alors l'anneau quotient A[X]/I ou K[X]/I qui se trouve être un anneau commutatif unitaire intègre ou un corps.
On plonge alors A dans cet anneau AP par le morphisme injectif qui, à l'élément a, associe 
la classe de a. Et on note r la classe de X. Le calcul de P(r) revient à déterminer la classe de P. Comme P est dans l'idéal I, sa classe est nulle donc P(r) = 0.
Il est possible de réitérer ce processus jusqu'à obtenir un corps contenant toutes les racines. Ce corps s'appelle le corps de décomposition.
Un corps est algébriquement clos quand, il est inutile de chercher des corps de rupture. C’est-à-dire quand tous les polynômes sont scindés. C'est le cas en particulier de 
.
Autres opérations sur les polynômes
Polynôme dérivé
Sur A[X], si P est le polynôme défini par 
, le polynôme dP défini par 
si n est non nul et par 0 sinon s'appelle le polynôme dérivé de P
L'application d de A[X] dans A[X] est un morphisme de modules et donc de groupes vérifiant d(PQ) = PdQ + QdP. À ce titre, c'est une application de dérivation, dans un anneau.
Une propriété importante du polynôme dérivé est le fait qu'une racine est multiple si et seulement si elle est aussi racine du polynôme dérivé. En effet, dire qu'une racine r est multiple pour un polynôme P c'est dire qu'il existe n strictement supérieur à 1 et un polynôme Q[X] tel que P[X] = (X − r)nQ[X]. Un simple calcul de dérivé montre alors que dP[X] = n(X − r)n − 1Q[X] + (X − r)ndQ[X].
Division suivant les puissances croissantes
Si K est un corps, pour tout entier n, et pour tout P et Q de K[X], Q(0) non nul, il existe deux polynômes T et R tels que P = TQ + XnR avec deg(T) < n. Cette décomposition est unique.
Exemple :
donc 
Cette opération est très utile dans la recherche d'une décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle ou celle d'un développement limité.
Polynôme à plusieurs indéterminées
Le cas de ces polynômes sera juste évoqué ici car l'anneau A[X, Y] peut tout simplement être considéré comme l'anneau des polynômes de la variable Y à coefficients dans A[X].
Le degré du polynôme sera alors la plus grande valeur obtenue en faisant les somme des exposants de chaque indéterminée dans chaque monôme.
est un polynôme de degré 4 à trois indéterminées
Parmi les polynômes à n indéterminées, l'étude des polynômes symétriques et de leur groupe de permutation est un domaine important de l'algèbre.
Ces polynômes sont également dits multivariés, par opposition aux polynômes univariés, à une seule variable.