En mathématiques, une fonction composée, formée par la composition de deux fonctions, représente l'application de la première fonction au résultat de l'application de la seconde (à l'argument choisi).
Les deux fonctions f: XY et g: YZ peuvent être composées en appliquant f à l'argument x, puis en appliquant g au résultat. On obtient ainsi la fonction g o f: XZ définie par (g o f)(x) = g(f(x)) pour tout x de l'ensemble X.
La notation g o f se lit " g rond f ", ou " f suivie de g ". (g o f)(x) se note aussi g o f(x).
La composition de fonctions n'est valable que si les domaines de définition des fonctions sont compatibles.
Soient et deux fonctions, alors est toujours définie si et seulement si (l'ensemble d'arrivée de la fonction f est compris dans l'ensemble de départ de la fonction g).
Soient les deux fonctions :
et
la fonction est définie uniquement sur le domaine .
Remarque : Le sens de variation obéit à la régle des signes.
Si Y⊂X alors f peut être composée avec elle-même; et la composée est notée f2. Ainsi
Pour tout entier naturel n, la puissance n-ième de f est définie par et .
Une extension de cette notation avec des exposants entiers négatifs peut être définie, à condition de supposer la fonction bijective de X sur X. f-1 désigne l'application réciproque et pour tout entier n strictement négatif fn, est la composée de f-1 par elle-même -n fois.
Ne pas confondre cette notation avec la puissance d'une fonction pour la multiplication des applications. Par exemple sin2 est la fonction sin×sin qui vérifie pour tous réels x, sin2(x) = sin(x)×sin(x). Il y a aussi une confusion possible entre l'inverse d'une fonction pour la multiplication et l'application réciproque.
Au milieu du XXe siècle, quelques mathématiciens trouvèrent que la notation g o f portait à confusion et décidèrent d'utiliser xf pour f(x) et xfg pour g(f(x)). Ils ne furent pas suivis et cette notation ne se rencontre que dans certains vieux livres.