Trigonométrie - Définition

La trigonométrie (du grec ancien τρ?γωνος / trígonos, " triangulaire ", et μ?τρον / métron, " mesure ") est une branche des mathématiques qui traite des rapports de distances et d'angles dans les triangles et de fonctions trigonométriques telle que sinus, cosinus et tangente.

Présentation

Histoire de la trigonométrie

Les origines de la trigonométrie remontent aux civilisations d'Égypte antique, de Mésopotamie et de la vallée de l'Indus, il y a plus de 4000 ans. Il semblerait que les Babyloniens aient basé la trigonométrie sur un système numérique à base 60.

Lagadha (-1350 ; -1200) est le premier mathématicien à utiliser la géométrie et la trigonométrie pour l'astronomie. La plupart de ses travaux sont détruits aujourd'hui.

La première utilisation de sinus apparaît dans les sulba Sutras en Inde, entre 800 et 500 avant J.C., où le sinus de π/4 (45°) est correctement calculé comme 1/√2 dans un problème de construction d'un cercle de même aire qu'un carré donné (le contraire de la quadrature du cercle).

Le mathématicien grec Hipparque de Nicée (-190 ; -120) construisit les premières tables trigonométriques sous la forme de tables de cordes : elles faisaient correspondre à chaque valeur de l'angle au centre, la longueur de la corde interceptée dans le cercle, pour un rayon fixe donné. Ce calcul correspond au double du sinus de l'angle moitié, et donne donc, d'une certaine façon, ce que nous appelons aujourd'hui une table de sinus. Toutefois, les tables d'Hipparque n'étant pas parvenues jusqu'à nous, elles ne nous sont connues que par le mathématicien égyptien Ptolémée, qui les publia, dans les années 100, avec leur mode de construction dans son Almageste. C'est ainsi qu'elles furent redécouvertes à la fin du Moyen-Âge par Georg von Purbach et son élève Regiomontanus.

Le mathématicien indien Aryabhata, en 499, donne une table des sinus et des cosinus. Il utilise zya pour sinus, kotizya pour cosinus et otkram zya pour l'inverse du sinus. Il introduit aussi le versinus.

Un autre mathématicien indien, Brahmagupta, utilise en 628 l'interpolation numérique pour calculer la valeur des sinus jusqu'au second ordre.

Omar Khayyam (1048-1131) combine l'utilisation de la trigonométrie et la théorie de l'approximation pour fournir des méthodes de résolutions d'équations algébriques par la géométrie.

Des méthodes détaillées de constructions de tables de sinus et cosinus pour tous les angles sont écrites par le mathématicien Bhaskara en 1150. Il développe aussi la trigonométrie sphérique.

Au XIII^e siècle, Nasir al-Din Tusi, à la suite de Bhaskara, est probablement un des premiers à considérer la trigonométrie comme une discipline distincte des mathématiques.

Enfin, au XIV^e siècle, Al-Kashi réalise des tables de fonctions trigonométriques lors de ses études en astronomie. Le mathématicien silésien Bartholomäus Pitiscus publie un travail remarquable sur la trigonométrie en 1595, dont le titre (Trigonometria) a donné son nom à la discipline.

Applications

Les applications de la trigonométrie sont immenses. En particulier, elle est utilisée en astronomie avec la technique de triangulation qui permet de mesurer la distance entre les étoiles. Les autres champs où la trigonométrie intervient (liste non exhaustive) : acoustique, optique, électronique, statistiques, économie, biologie, chimie, médecine, physique, météorologie, géodésie, géographie, cartographie, cryptographie, etc.

Trigonométrie

Une définition possible des fonctions trigonométriques est d'utiliser les triangles rectangles, c’est-à-dire les triangles qui possèdent un angle droit (90 degrés ou π/2 radians).

Et parce que la somme des angles d'un triangle fait 180 degrés (ou π radians), l'angle le plus grand dans un tel triangle est l'angle droit. Le côté le plus long dans un triangle rectangle, c’est-à-dire le côté opposé à l'angle le plus grand (l'angle droit), s'appelle l'hypoténuse.

Dans la figure à droite, l'angle forme l'angle droit. Le côté AB l'hypoténuse.

Les fonctions trigonométriques se définissent ainsi, avec l'angle  :

Avec opp pour côté opposé, adj pour côté adjacent et hyp pour hypoténuse.

Moyen mnémotechnique pour retenir les fonctions trigonométriques: SOHCAHTOA (S: Sinus, C: Cosinus, T: Tangente, O: Opposé, H: Hypoténuse, A: Adjacent)

Ce sont les fonctions trigonométriques les plus importantes et il en existe beaucoup d'autres. Elles ont été définies pour les angles entre 0 et 90 degrés (soit entre 0 et π/2 radians). En utilisant le cercle unité, on peut étendre cette définition.

Formules de trigonométrie

Formules d'addition et de différence

Moyen mnémotechnique pour retenir : " Le cosinus est méchant : il ne se mélange pas avec les sinus, et de plus il change les signes ".

Formules de duplication

Ces formules sont importantes à retenir car elles interviennent dans de très nombreux problèmes. Il suffit de faire A = B dans les formules précédentes.

Et en posant t = tan A, on a alors :

Formules de linéarisation

Formules de linéarisation de degré 2

Formules de linéarisation de degré 3

Formules de développement et de factorisation

Développement

Factorisation

Théorème d'Al-Kashi

• Dans tout triangle rectangle en A , a² = b² + c²
• Si A est aigu : a² < b² + c²
• Si A est obtus : a² > b² + c² , mais de combien ? réponse de Al-Kashi :

Ce qui paraît pertinent puisque cos A est positif si A est aigu et négatif si A est obtus. Il reste à le démontrer :

Prenons le cas : angles B et C aigus , soit AH la hauteur menée sur la base BC .

Alors a² = BH² + HC² + 2 BH.HC = (b²-h²) +(c²-h²) + 2 c.cosB .b.cosC = b²+c²+2bc.(cosB.cosC-sinC.sinB) = b² + c² + 2bc.cos(B+C) = b² + c² - 2 bc.cosA.

cf aussi , mais à un autre niveau Théorème d'Al-Kashi.

Formule des sinus

Il suffit de voir que ha = 2S avec h = c .sinB donc abc. sin B = 2S.b . D'autre part soit I le point de concours des bissectrices r le cercle inscrit ra +rb + rc = 2S = r.2p.

R est le rayon du cercle circonscrit.

Formule des différences des côtés

• 

C'est une application directe de la formule des sinus et de la formule "des produits en sens inverse" : laissé en exercice. On a aussi la somme des côtés de la même façon.

Formule TRÈS importante du triangle au petit côté BC =a avec l'angle B obtus : b est peu différent de c mais b > c , de combien ? réponse :

b - c = projection de BC sur AB = -a cos B , si a << c

en effet A est négligeable et B+C ~ 180°.

• ( I milieu de AB et H pied de la perpendiculaire AH);

• 

On apprend en général ces deux formules supplémentaires en même temps.

• Formule des tangentes (dite parfois formule des arpenteurs) :

( se rappeler que étant aigu , et appliquer Al-Kashi)

Résoudre un triangle

C'est, étant donné un côté et deux angles adjacents, ou un angle et deux côtés adjacents, ou à la rigueur deux côtés b et c et l'angle B , trouver le triangle correspondant, c'est-à-dire , a, b, c , A, , C (et vérifier une des règles non appliquée dans le processus). On résout ce genre de problème à l'aide des formules précédentes (plus la formule de projection évidente a = b.cosC +c.cosB).

Exemple : Sur l'axe Ox , OB = 1 et OC = 1.5 . OBM = 60° et OCM = 30° Trouver M  :

On résout ainsi : faire l'épure ; M se trouve en (x= 0.75 ; y = 0.45) environ . Raisonner : triangle BMC : B = 120°, C = 30° donc M = 30° ; donc triangle isocèle en B : BM = 0.5 ; puis CM = 2.(0.5).cos C = sqrt(3)/2. Soit H la projection de M sur l'axe : HM = y et angle HMB = 30°. Il en résulte que y = sqrt(3)/4 = 0,433 et x = 1-(0,5)/2 = 0,75 . La distance OM = sqrt(3)/2 = MC, et azimut de M = 30°, angle OMB = 90°.

Il est rare du point de vue cadastral que les cas soient aussi simples.

En général on demande 4 à 5 ChS (chiffres significatifs) : les calculettes ont considérablement réduit le travail assez fastidieux de "réduction des triangles". Rappelons que la mesure du degré du méridien terrestre de Paris s'est effectué de la sorte entre Malvoisine et Montlhéry par l'abbé Picard, vers 1660? .

La surface S du triangle se calcule par la formule des sinus ou la formule d'Héron (d'Alexandrie) qui s'en déduit : S² = p(p-a)(p-b)(p-c).

Article détaillé : Résolution d'un triangle

Quelques problèmes célèbres

• l'approximation sin A = A - k A³ avec k = 1/6 quand A est petit (en radian!) peut se déduire de la formule sin(3A) = 3.sinA -4 sin³A : les termes en A³ donnent : -k27 = -3k -4 , CQFD.

• La flèche d'une corde AB sous tendant l'arc AOB = 2 α : soit I milieu de AB et CD le diamètre passant par I : ID = flèche telle que f( 2R-f) = (R sin α)² .

Aire de l'onglet : S = R²[α - sin(2.α)/2] quand alpha est tout petit , on compare cette aire à celle de la parabole osculatrice 1/3 f.AB (théorème d'Archimède): la différence est d'ordre supérieur à 3.

• formule de Machin (1706) : soit A l'arc dont la tangente est 1/5 et B celui dont l'arc est 1/239 : alors 4A -B = π/4, ce qui donne une bonne approximation de Pi, "assez rapidement". Cette formule se généralise.

• polygones réguliers constructibles : l'heptagone et le nonagone sont impossibles, mais le polygone à 17 côtés(heptadécagone) est constructible (théorème de Gauss à 19 ans : 1796); par contre on peut construire par pliage (cf origami) l'heptagone et le nonagone. On trouve néanmoins aisément A = 360°/7 , alors sin A .sin 2A .sin 3A = sqrt(7) /8 et pour les cosinus 1/8 cf article. Des formules semblables existent pour le nonagone.

• algorithme CORDIC de Briggs et redécouvert par Volker : ou comment votre calculette va-t-elle aussi vite ?