Carré (algèbre) - Définition
En algèbre, le carré d'un nombre correspond à la puissance 2 de ce nombres, c’est-à-dire au résultat de la multiplication de ce nombre par lui-même.
Exemples :
- " 5 au carré " signifie 5 multiplié par 5 : 5² = 5 × 5 = 25.
- 1,5 et -1,5 ont le même carré, à savoir 2,25.
- Le carré d'un nombre réel est toujours un réel positif ou nul.
- Les nombres complexes ont été définis afin que -1 puisse être considéré comme un carré.
Un kilomètre carré est une unité de mesure de surface, correspondant à la superficie occupée par un carré dont les côtés mesurent chacun un kilomètre.
Soit un nombre x. Un nombre dont le carré correspond à x est appelé racine carrée de x.
Les carrés en arithmétique
L'ensemble des nombres entiers naturels peut être élevé au carré : on obtient ainsi les " carrés parfaits ". Par exemple, 3² = 3 × 3 = 9 est un carré parfait. Les dix premiers carrés parfaits sont : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 et 100.
La somme des n premiers nombres naturels impairs vaut le carré de n :
- 1 + 3 = 2²
- 1 + 3 + 5 = 3²
- 1 + 3 + 5 + 7 = 4² , etc.
Tout nombre entier naturel est la somme d'au plus quatre carrés. C'est la conjecture de Waring, démontrée par Lagrange en 1770.
