Algèbre associative - Définition

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En mathématiques, une algèbre associative est un espace vectoriel dans lequel est aussi définie une multiplication des vecteurs, qui possède les propriétés de distributivité et d'associativité.

Définition

Une algèbre associative A sur un corps \mathbb{K} est un espace vectoriel sur \mathbb{K} muni d'une multiplication bilinéaire A\times A \to A telle que

  • (x y) z = x (y z) pour tous x, y et z dans A,

où l'image de (x,y) est notée xy.

Si A contient une unité, i.e. un élément 1 tel que 1x=x=x1 pour tout x dans A, alors A est appelée algèbre associative unitaire. Une telle algèbre est un anneau et contient le corps de base \mathbb{K} par identification de c dans \mathbb{K} avec c1 dans A.

La dimension d'une algèbre associative A sur un corps \mathbb{K} est sa dimension comme espace vectoriel sur \mathbb{K}.

Exemples

  • Les matrices carrées de taille n par n à coefficients dans \mathbb{K} forment une algèbre associative unitaire sur \mathbb{K}.
  • Les nombres complexes \mathbb{C} forment une algèbre associative unitaire de dimension 2 sur le corps \mathbb{R} des nombres réels.
  • Les quaternions forment une algèbre associative unitaire de dimension 4 sur le corps des nombres réels.
  • Les polynômes à coefficients dans \mathbb{K} forment une algèbre associative unitaire de dimension infinie sur \mathbb{K}.
  • Pour tout espace vectoriel V, les endomorphismes de V forment une algèbre associative unitaire.
  • Les algèbres enveloppantes des algèbres de Lie sont des algèbres associatives.
  • Les algèbres d'incidence des ordres partiels localement finis sont des algèbres associatives utilisées en combinatoire.
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